調和振動 (1回目)

 2026/11/3(火)
 
調和振動 (1回目)
 
■ バネの両端に付いた重りの運動(harmonic oscillator)
▼ 定義

m₁ :重り1の質量[kg]

m₂ :重り2の質量[kg]
x₁ :重り1の位置[m]
x₂ :重り2の位置[m](x₁ ＜ x₂)
v₁ :重り1の速度[m/s]
v₂ :重り2の速度[m/s]
a₁ :重り1の加速度[m/s²]
a₂ :重り2の加速度[m/s²]
a_r :重り1,2の相対加速度[m/s²]
L  :バネの自然長[m]
k  :バネ定数[N/m]
F₀ :重りにかかる力の大きさ[N](t ＝ 0)
F  :重りにかかる力の大きさ[N](t ≧ 0)
R₀ :バネの伸び[m](t ＝ 0)
X  :バネの伸び[m](t ≧ 0)
X₁ :重り1の自然長の時の重心からの距離[m]
X₂ :重り2の自然長の時の重心からの距離[m]
μ :換算質量[kg]
 
▼ 単振動の式
x = rcosωt、v = -rωsinωt、a = -rω²cosωt = -ω²x
F = ma = -kx  ⇒  a = x = -ω²x より
ω = √(k/m) = 2πf  ⇒  f = ω/(2π)
T = 1/f = 2π/ω = 2π√(k/m)
 
▼ 関係式
R₀ = F₀/k
X₁ = {m₂/(m₁+m₂)}L
X₂ = {m₁/(m₁+m₂)}L
X = (x₂ - x₁) - L
 
m₁a₁ =  kX =  F
m₂a₂ = -kX = -F より
重心にかかる力の総量は0[N]なので重心は静止または等速直線運動する
a₁ = kX/m₁ , a₂ = -kX/m₂ より
a_r = a₂ - a₁ = -kx/m₂ - kX/m₁ = -(1/m₁ + 1/m₂)kX
= -{(m₁ + m₂)/(m₁m₂)}kX = -(k/μ)X = -ω²X
( μ = m₁m₂/(m₁ + m₂) と置く )
ω = √(k/μ)
 
▼ 重心からの距離
m₁X₁ = m₂X₂   … ①
X₁ + X₂ = L  … ②
②式X₂ = L - X₁ 
m₁X₁ = m₂(L - X₁) = m₂L - m₂X₁ 
m₁X₁ + m₂X₁ = m₂L
X₁ = {m₂/(m₁ + m₂)}L
②式X₁ = L - X₂ 
m₂X₂ = m₁(L - X₂) = m₁L - m₁X₂ 
m₁X₂ + m₂X₂ = m₁L
X₂ = {m₁/(m₁ + m₂)}L
 
 
■ 結果
▼ 重心から見た運動
重心を原点とする座標系で表すと
 
X₁ = {m₂/(m₁ + m₂)}L
X₂ = {m₁/(m₁ + m₂)}L
R₀ = F₀k
r₁ = {m₂/(m₁ + m₂)}R₀ , r₂ = {m₁/(m₁ + m₂)}R₀ 
μ = m₁m₂/(m₁ + m₂) , ω = √(k/μ) , T = 2π√(k/μ)
x₁ = -X₁ - r₁cosωt , v₁ =  ωr₁sinωt , a₁ =  ω²r₁cosωt
x₂ =  X₂ + r₂cosωt , v₂ = -ωr₂sinωt , a₂ = -ω²r₂cosωt