N88-BASICで円周率 (2回目)
2022/7/1(金)
N88-BASICで円周率 (2回目)
3.105 < π < 3.216の証明
N88-BASICで円周率 (2回目)
3.105 < π < 3.216の証明
(2003年東大入試問題、π > 3.05 の証明もしています)
円に内接(外接)する正多角形を利用して
円周率の範囲を求めます
正n角形の場合の式を考えてみます
円に内接(外接)する正多角形を利用して
円周率の範囲を求めます
正n角形の場合の式を考えてみます
図1
rsinθ = 斜辺×(高さ/斜辺) = 高さ
rtanθ = 底辺×(高さ/底辺) = 高さ
θは正n角形の中心角の半分なので
θ = 360ﾟ/(2n) = 180ﾟ/n
半径r=1の円周の長さLc = 2πr = 2π
内接する正n角形の周の長さLa = 2nrsinθ = 2nsinθ
外接する正n角形の周の長さLb = 2nrtanθ = 2ntanθ
よって、La < Lc < Lbなので
nsin(180ﾟ/n) < π < ntan(180ﾟ/n)
√2 ≒ 1.41421356･･ (一夜一夜に人見頃)
√3 ≒ 1.7320508･･･ (人並みに奢れや)
√5 ≒ 2.2360679･･･ (富士山麓オウム鳴く)
正六角形の場合を解いてみる(n = 6、θ = 30ﾟ)
6sin30ﾟ = 6･(1/2) = 3
6tan30ﾟ = 6･(1/√3) = 2√3
≒ 2･1.73205 = 3.46410 < 3.465
3 < π < 2√3 < 3.465
3 < π < 3.465
加法定理または半角公式を使います
https://ulprojectmail.blogspot.com/2021/09/1.html
三角関数 (1回目)
加法定理
sin(α±β) = sinαcosβ±cosαsinβ
cos(α±β) = cosαcosβ ∓sinαsinβ
tan(α±β) = (tanα±tanβ)/(1 ∓tanαtanβ)
半角公式
sin2(θ/2) = (1 - cosθ) / 2
3.105 < π < 3.216の証明
正12角形の場合を解いてみる(n = 12、θ = 15ﾟ)
半角公式を使って
12sin15ﾟ = 12√{(1 - cos30ﾟ) / 2}
= 3√{(16/2)(1 - √3 / 2)} = 3√(8 - 4√3)
= 3√(8 - 2√12) = 3√(6 - 2√6･√2 + 2)
= 3√(√6 - √2)2 = 3(√6 - √2)
= (√3 - 1)3√2
> 0.732×3×1.414 = 2.196×1.414
= 3.105144 > 3.105加法定理を使っても
rsinθ = 斜辺×(高さ/斜辺) = 高さ
rtanθ = 底辺×(高さ/底辺) = 高さ
θは正n角形の中心角の半分なので
θ = 360ﾟ/(2n) = 180ﾟ/n
半径r=1の円周の長さLc = 2πr = 2π
内接する正n角形の周の長さLa = 2nrsinθ = 2nsinθ
外接する正n角形の周の長さLb = 2nrtanθ = 2ntanθ
よって、La < Lc < Lbなので
nsin(180ﾟ/n) < π < ntan(180ﾟ/n)
√2 ≒ 1.41421356･･ (一夜一夜に人見頃)
√3 ≒ 1.7320508･･･ (人並みに奢れや)
√5 ≒ 2.2360679･･･ (富士山麓オウム鳴く)
正六角形の場合を解いてみる(n = 6、θ = 30ﾟ)
6sin30ﾟ = 6･(1/2) = 3
6tan30ﾟ = 6･(1/√3) = 2√3
≒ 2･1.73205 = 3.46410 < 3.465
3 < π < 2√3 < 3.465
3 < π < 3.465
加法定理または半角公式を使います
https://ulprojectmail.blogspot.com/2021/09/1.html
三角関数 (1回目)
加法定理
sin(α±β) = sinαcosβ±cosαsinβ
cos(α±β) = cosαcosβ ∓sinαsinβ
tan(α±β) = (tanα±tanβ)/(1 ∓tanαtanβ)
半角公式
sin2(θ/2) = (1 - cosθ) / 2
3.105 < π < 3.216の証明
正12角形の場合を解いてみる(n = 12、θ = 15ﾟ)
半角公式を使って
12sin15ﾟ = 12√{(1 - cos30ﾟ) / 2}
= 3√{(16/2)(1 - √3 / 2)} = 3√(8 - 4√3)
= 3√(8 - 2√12) = 3√(6 - 2√6･√2 + 2)
= 3√(√6 - √2)2 = 3(√6 - √2)
= (√3 - 1)3√2
> 0.732×3×1.414 = 2.196×1.414
= 3.105144 > 3.105
加法定理を使っても
12sin15ﾟ = 12sin(45ﾟ - 30ﾟ)
= 12(sin45ﾟcos30ﾟ - cos45ﾟsin30ﾟ)
= 12(1/√2 × √3/2 - 1/√2 × 1/2)
= 12√2(√3 - 1)/4
= (√3 - 1)3√2
同じ結果になります
12tan15ﾟ = 12tan(45ﾟ-30ﾟ)
= 12(tan45ﾟ - tan30ﾟ)/(1 + tan45ﾟtan30ﾟ)
= 12(1 - 1/√3)/(1 + 1･1/√3)
= 12(1 - √3 / 3)/(1 + √3 / 3)
= 12(3 - √3)/(3 + √3)
= 12(3 - √3)2/{(3 + √3)(3 - √3)}
= 12(3 - √3)2/(9-3) = 2(3 - √3)2
= 2(9 - 6√3 + 3) = 2(12 - 6√3)
= 12(2 - √3)
< 12×(2-1.73205) = 12×0.26795 = 3.2154 < 3.216
3.105 < (√3 - 1)3√2 < π < 12(2 - √3) < 3.216
3.105 < π < 3.216
おまけ
π > 3.05の証明
π > (√3 - 1)3√2 > (1.73 - 1)×3×1.4
= 0.73×3×1.4 = 2.19×1.4 = 3.066 > 3.05
まとめ
nsin(180ﾟ/n) < π < ntan(180ﾟ/n)
3.000 < π < 3.465 … 正六角形(n = 6、θ = 30ﾟ)
3.105 < π < 3.216 … 正12角形(n = 12、θ = 15ﾟ)
プログラムではnを入力し
正n角形の場合を表示しています
NL-BASICとblg～.zip(pi002.bas)は
以下のリンクからダウンロードできます
π > 3.05の証明
π > (√3 - 1)3√2 > (1.73 - 1)×3×1.4
= 0.73×3×1.4 = 2.19×1.4 = 3.066 > 3.05
まとめ
nsin(180ﾟ/n) < π < ntan(180ﾟ/n)
3.000 < π < 3.465 … 正六角形(n = 6、θ = 30ﾟ)
3.105 < π < 3.216 … 正12角形(n = 12、θ = 15ﾟ)
プログラムではnを入力し
正n角形の場合を表示しています
NL-BASICとblg～.zip(pi002.bas)は
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