N88-BASICでネイピア数 (2回目)

2022/8/9(金)
N88-BASICでネイピア数 (2回目)
 
ネイピア数e(Napier's constant)
 
e = lim(n→∞) (1 + 1/n)ⁿ 
を変形する
 
二項定理と組合せは
https://ulprojectmail.blogspot.com/2021/07/vl-basic3-1.html
VL-BASICで3乗の展開の図 (1回目)
https://ulprojectmail.blogspot.com/2021/11/n88-basicpc.html
N88-BASICで順列組合せ
を参照
 
(a + b)ⁿ = Σ_nC_ia^n-ibⁱ [i = 0～n] と
nCr = n(n-1)…(n-r+1)/r! より
 
(1 + 1/n)ⁿ 
= Σ_nC_i(1/n)ⁱ [i = 0～n]
= 1 + n (1/n) + n(n-1)/2! (1/n)² 
+ n(n-1)(n-2)/3! (1/n)³ + …
 
= 1 + 1 + (n-1)/2! (1/n) + (n-1)(n-2)/3! (1/n)² + …
= 1 + 1 + (n-1)/2! (1/n) + (n²-3n+1)/3! (1/n)² + …
= 1 + 1 + {1/2! - 1/(2!n)}
+ {1/3! - 3/(3!n) + 1/(3!n²)} + …
 
= 1 + 1 + 1/2! + 1/3! + … (n→∞)
= 1/0! + 1/1! + 1/2! + 1/3! + … (n→∞)
 
e = lim[n→∞] (1 + 1/n)ⁿ 
= Σ1/k! [k = 0～∞]
 
プログラムではmを入力し
e = lim[n→∞](1 + 1/n)ⁿ ≒ Σ1/k! [k = 0～m]
で計算した結果を表示しています
 
 
おまけ
ln xの微分(ln x = log_ex)
 
f(x) = log_ex、f'(x) = (d/dx)f(x)
e = lim[n→∞] (1 + 1/n)ⁿ 
とすると
 
f'(x) = lim[h→0] {f(x+h)-f(x)}/h
= lim[h→0] (log_e(x+h) - log_ex)/h
= lim[h→0] (1/h)log_e{(x+h)/x}
= lim[h→0] log_e{(x+h)/x}^1/h 
= lim[h→0] log_e{1+h/x}^1/h 
= lim[h→0] (x/x)log_e{1+h/x}^1/h 
= lim[h→0] (1/x)log_e{1+h/x}^x/h 
= (1/x)lim[h→0] log_e{1+h/x}^x/h 
ここで、n = x/hと置くと
= (1/x)lim[n→∞] log_e{1+1/n}ⁿ 
= (1/x)lim[n→∞] log_ee
= (1/x)lim[n→∞] 1
= 1/x
 
 
VL,NL,XL-BASICとblg～.zip(napi002.bas)は
以下のリンク)からダウンロードできます

https://ulprojectmail.blogspot.com
Readme.txtを読んで遊んで下さい