相対性理論 (8回目)

2023/8/10(木)
相対性理論 (8回目)
 
一般相対性理論
(General relativity theory)
 
アインシュタインの重力場方程式の導出
 
■ 導出
▼ 比例式の簡単な例
微分が0(傾きが0)
f'(x) = df/dx = 0
g'(x) = dg/dx = 0
となる関数の簡単な例を
f(x) = 4
g(x) = 8
とすると
g(x) = kf(x)と置けるので
k = 2
g(x) = 2f(x)となる
 
▼ 比例式
https://ulprojectmail.blogspot.com/2023/08/curvature-5.html
曲率テンソル (5回目)
と
相対性理論 (6回目)
相対性理論 (7回目)
より
 
アインシュタインテンソル
G^μν = R^μν - (1/2)g^μνR
∂G^μν/∂x^μ = ∇_μG^μν = 0
エネルギー運動量テンソル
∂T^μν/∂x^μ = ∇_μT^μν = 0
より
微分が0同士なので
G^μν = kT^μν 
の関係があると置けるので
ニュートン近似でkを決定する
 
またニュートン近似はcに対してx,y,z
の変化が少ないのでu⁰のみつまりT⁰⁰のみ考える
また|v|<<|c|より
ローレンツ係数γ = 1/√{1 - (v/c)²} ≒ 1
 
T^μν = ρc²u^μu^ν より
T⁰⁰ = ρc²u⁰u⁰ = ε = γ²ρc² = ρc² 
 
▼ 重力場方程式の変形
G^μν = kT^μν 
G^μν = R^μν - (1/2)g^μνR
R^μν - (1/2)g^μνR = kT^μν 
両辺にg_μig_νjを掛ける
g_μig_νjR^μν - (1/2)g_μig_νjg^μνR = kg_μig_νjT^μν 
R_ij - (1/2)g_ijR = kT_ij 
両辺にg^ijを掛ける
g^ijR_ij - (1/2)g^ijg_ijR = kg^ijT_ij 
Rⁱ_i - (1/2)δⁱ_iR = kTⁱ_i 
R - (1/2)4R = kT
R = -kT
を
R_ij - (1/2)g_ijR = kT_ij 
に代入
R_ij + (1/2)kg_ijT = kT_ij 
R_ij = k{T_ij - (1/2)g_ijT} … (T = g_ijT^ij)
 
▼ ニュートン近似のR_ij 
https://ulprojectmail.blogspot.com/2023/07/christoffel-3.html
クリストッフェル記号 (3回目)
より
 
Γ^k_ij = (1/2)g^ka{(∂g_ja/∂Xⁱ)+(∂g_ai/∂X^j)-(∂g_ij/∂X^a)}
に
g_αβ ≒ η_αβ + h_αβ (|h_αβ| << 1)
を代入
 
η_αβ は定数なので微分は0
h_αβ の2乗の項は小さいので無視すると
Γ^k_ij = (1/2)g^ka{(∂g_ja/∂Xⁱ)+(∂g_ai/∂X^j)-(∂g_ij/∂X^a)}
= (1/2)(η^ka+h^ka){(∂h_ja/∂Xⁱ)+(∂h_ai/∂X^j)-(∂h_ij/∂X^a)}
= (1/2)η^ka{(∂h_ja/∂Xⁱ)+(∂h_ai/∂X^j)-(∂h_ij/∂X^a)}
 
Γ^k_ij = Γ^k_ij 
= (1/2)η^ka{(∂h_ja/∂Xⁱ)+(∂h_ai/∂X^j)-(∂h_ij/∂X^a)}
 
Rⁿ_m,αβ 
= (∂/∂x^α)Γⁿ_βm - (∂/∂x^β)Γⁿ_αm 
+ Γⁿ_αkΓ^k_βm  - Γⁿ_βkΓ^k_αm 
R_mβ = R^α_m,αβ 
= (∂/∂x^α)Γ^α_βm - (∂/∂x^β)Γ^α_αm 
+ Γ^α_αkΓ^k_βm  - Γ^α_βkΓ^k_αm 
≒ (∂/∂x^α)Γ^α_βm - (∂/∂x^β)Γ^α_αm 
… Γはhを含むので2乗の項は無視
R_mβ ≒ (∂/∂x^α)Γ^α_βm - (∂/∂x^β)Γ^α_αm 
R_ij ≒ (∂/∂x^k)Γ^k_ji - (∂/∂x^j)Γ^k_ki 
= (∂/∂x^k)[(1/2)η^ka{(∂h_ja/∂xⁱ)+(∂h_ai/∂x^j)-(∂h_ij/∂x^a)}]
- (∂/∂x^j)[(1/2)η^ka{(∂h_ka/∂xⁱ)+(∂h_ai/∂x^k)-(∂h_ik/∂x^a)}]
= (1/2)η^ka{(∂²h_ja/∂x^k∂xⁱ)+(∂²h_ai/∂x^k∂x^j)-(∂²h_ij/∂x^k∂x^a)
- (∂²h_ka/∂x^j∂xⁱ)-(∂²h_ai/∂x^j∂x^k)+(∂²h_ik/∂x^j∂x^a)}
= (1/2)η^ka{(∂²h_ja/∂x^k∂xⁱ)-(∂²h_ij/∂x^k∂x^a)
- (∂²h_ka/∂x^j∂xⁱ)+(∂²h_ik/∂x^j∂x^a)}
 
R_ij ≒ (1/2)η^ka{(∂²h_ja/∂x^k∂xⁱ)-(∂²h_ij/∂x^k∂x^a)
- (∂²h_ka/∂x^j∂xⁱ)+(∂²h_ik/∂x^j∂x^a)}
 
ここでi=j=0のみを考えれば良く
また
相対性理論 (6回目)より
h₀₀ ≒ (-2/c²)φ
重力場は変化しないという近似の為
時間成分x⁰での微分は0
∂h_ij/∂x⁰ = 0
より
 
R_ij ≒ (1/2)η^ka{(∂²h_ja/∂x^k∂xⁱ)-(∂²h_ij/∂x^k∂x^a)
- (∂²h_ka/∂x^j∂xⁱ)+(∂²h_ik/∂x^j∂x^a)}
R₀₀ ≒ (1/2)η^ka{(∂²h_0a/∂x^k∂x⁰)-(∂²h₀₀/∂x^k∂x^a)
- (∂²h_ka/∂x⁰∂x⁰)+(∂²h_0k/∂x⁰∂x^a)}
= -(1/2)η^ka(∂²h₀₀/∂x^k∂x^a)
= -(1/2)η^kk(∂/∂x^k)²h₀₀ 
= -(1/2){-(∂/∂x⁰)² + ∇²}h₀₀ 
= -(1/2){-(∂h₀₀/∂x⁰)² + ∇²h₀₀}
= -(1/2)∇²h₀₀ 
= -(1/2)∇²(-2/c²)φ
 
R₀₀ ≒ (1/c²)∇²φ
 
▼ ニュートン近似のT_ij 
k{T_ij - (1/2)g_ijT} … (T = g_ijT^ij)
ここでi=j=0のみを考えれば良く
T₀₀ = T⁰⁰ = ρc² (最初に記載)
g₀₀ ≒ η₀₀ + h₀₀ 
h₀₀の2乗の項は小さいので無視する
 
T₀₀ - (1/2)g₀₀g₀₀T⁰⁰ 
= ρc² - (1/2)(η₀₀ + h₀₀)(η₀₀ + h₀₀)ρc² 
= ρc² - (1/2)(-1 + h₀₀)(-1 + h₀₀)ρc² 
≒ ρc² - (1/2)(1 - 2h₀₀)ρc² 
= ρc² - (1/2)ρc² + ρc²h₀₀ 
= (1/2)ρc²(1 + 2h₀₀) … (|h₀₀| << 1)
≒ (1/2)ρc² 
 
▼ kを求める
R₀₀ ≒ (1/c²)∇²φ
{T₀₀ - (1/2)g₀₀g₀₀T⁰⁰} ≒ (1/2)ρc² 
 
R₀₀ = k{T₀₀ - (1/2)g₀₀g₀₀T⁰⁰}より
 
(1/c²)∇²φ = k(1/2)ρc² 
∇²φ = k(1/2)ρc⁴ 
 
https://ulprojectmail.blogspot.com/2023/07/poisson-2.html
ポアソン方程式 (2回目)
より
 
∇²φ = 4πGρ
と比べると
∇²φ = k(1/2)ρc⁴ = 4πGρ
k = 8πGρ/ρc⁴ = 8πG/c⁴  
よって
 
重力場方程式
G^μν = (8πG/c⁴)T^μν 
となる
 
 
■ 余談1
等価原理は
局所慣性系(重力が平行になるぐらい微小領域)では
重力と慣性力は同じと見なす
ただし
大局的には重力は平行ではなく慣性力(加速による力)は
平行に働くので成り立たない
 
一般相対性理論の方程式
測地線の方程式[相対性理論 (5回目)]
重力場方程式　[相対性理論 ( 今回)]
 
重力は時空間の歪みで時間が経てば座標が変化する
よって物体の位置も時間とともに変化する
よってその移動量は物質の属性(質量など)に
よらず一定となる
重力による加速度は質量と無関係なので
重力質量は存在しないとも考えられる
 
しかし
重力で加速しようとする物体を止めている力
(ものを持っている力)によって重さを感じるが
これは加速を止めるのに質量に比例した力が
必要という事なのでこの質量は慣性質量という
ことになる
 
なのでやはり
重力質量はないのかもしれません
 
 
■ 余談2(ポアソン方程式の導出)
▼ 重力場方程式の変形
R_μν = (8πG/c⁴){T_μν - (1/2)g_μνg_μνT^μν}
 
▼ 重力場方程式からポアソン方程式
R₀₀ ≒ (1/c²)∇²φ
{T₀₀ - (1/2)g₀₀g₀₀T⁰⁰} ≒ (1/2)ρc² 
 
R₀₀ = (8πG/c⁴){T₀₀ - (1/2)g₀₀g₀₀T⁰⁰}
より
(1/c²)∇²φ = (8πG/c⁴)(1/2)ρc² = 4πGρ/c² 
∇²φ = 4πGρ
 
 
■ 結果
▼ 定義
G^μν:アインシュタイン･テンソル(Einstein tensor)
T^μν:エネルギー運動量テンソル(energy-momentum tensor)
R^μν:リッチテンソル(Ricci curvature tensor)
R:スカラー曲率(Scalar curvature)
g^μν:計量テンソル(metric tensor)
 
▼ 重力場方程式
G^μν = R^μν - (1/2)g^μνR
 
重力場方程式
G^μν = (8πG/c⁴)T^μν