シュワルツシルト半径 (2回目)

2023/8/16(水)
シュワルツシルト半径 (2回目)
 
(Schwarzschild radius)

リッチテンソルを求める
 
■ 導出
▼ 極座標の計量g
前回より
g_αβ = diag(-1, 1, r², r²sin²θ)
ds² = -dw² + dr² + r²dθ² + r²sin²θdφ² 
 
ここで
対象が球対称で時間変化しないとし
球対称な関数e^a(r)、e^b(r)を使って(計算の都合上)
ds² = -e^a(r)dw² + e^b(r)dr² + r²{dθ² + sin²θdφ²}
と置くと計量は
g_αβ = diag(-e^a(r), e^b(r), r², r²sin²θ)
g^αβg_βγ = δ^α_γ = diag(1, 1, 1, 1)より
g^αβ = diag(-e^-a(r), e^-b(r), 1/r², 1/r²sin²θ)
となる
 
▼ クリストッフェル記号
https://ulprojectmail.blogspot.com/2023/07/christoffel-3.html
クリストッフェル記号 (3回目)
より
Γ^k_ij 
= (1/2)g^ka{(∂g_ja/∂Xⁱ)+(∂g_ai/∂X^j)-(∂g_ij/∂X^a)}
g^kakは対角成分のみなのでa = kと置いて
Γ^k_ij 
= (1/2)g^kk{(∂g_jk/∂Xⁱ)+(∂g_ki/∂X^j)-(∂g_ij/∂X^k)}
(式を見れば分かる通りi,jは入替えても同じ)
 
a = a(r)
a'= (d/dr)a(r)と書くことにする
 
g³³、g₃₃はrとθの関数よりi,j,k=1,2
それ以外はrの関数よりi,j,k=1
 
k = 0の時i,j=0,1
Γ⁰₀₀ = 0 … すべて時間微分のため
Γ⁰₀₁ = Γ⁰₁₀ 
= -(1/2)e^-a(r)(∂-e^a(r)/∂r) = -(1/2)e^-a(r){-a'(r)e^a(r)}
= (1/2)a'
 
k = 1の時i,j≠1ならi=j
Γ¹₀₀ 
= (1/2)e^-b(r)(-∂-e^a(r)/∂r) = (1/2)e^-b(r){a'e^a(r)}
= (1/2)a'e^a-b 
Γ¹₀₁ = Γ¹₁₀ = 0 … i,j=k=1の時時間微分となるため
Γ¹₁₁ 
= (1/2)e^-b(r)(∂e^b(r)/∂r) = (1/2)e^-b(r){b'e^b(r)}
= (1/2)b'
Γ¹₂₂ 
= (1/2)e^-b(r)(-∂r²/∂r) = (1/2)e^-b(r)(-2r)
= -re^-b 
Γ¹₃₃ 
= (1/2)e^-b(r)(-∂r²sin²θ/∂r) = (1/2)e^-b(r)(-2rsin²θ)
= -(rsin²θ)e^-b 
 
k = 2の時i,j≠2ならi=j
i=j=0,1,2の微分は0
i=2,j=1ori=1,j=2以外の微分は0
Γ²₁₂ = Γ²₂₁ 
= (1/2)(1/r²)(∂r²/∂r) = (1/2)(1/r²)2r
= 1/r
Γ²₃₃ 
= (1/2)(1/r²)(-∂r²sin²θ/∂θ)
= (1/2)(1/r²)(- 2r²sinθcosθ)
= -sinθcosθ
 
k = 3の時i=j or i,j=0の時の微分は0
i=1,j=2 or i=2,i=1の時の微分は0
Γ³₁₃ = Γ³₃₁ 
= (1/2){1/(r²sin²θ)}(∂r²sin²θ/∂r)
= (1/2){1/(r²sin²θ)}2rsin²θ
= 1/r
Γ³₂₃ = Γ³₃₂ 
= (1/2){1/(r²sin²θ)}(∂r²sin²θ/∂θ)
= (1/2){1/(r²sin²θ)}2r²sinθcosθ
= cosθ/sinθ
 
▼ クリストッフェル記号
Γ⁰₀₁ = Γ⁰₁₀ = (1/2)a'
Γ¹₀₀ = (1/2)a'e^a-b 
Γ¹₁₁ = (1/2)b'
Γ¹₂₂ = -re^-b 
Γ¹₃₃ = -(rsin²θ)e^-b 
Γ²₁₂ = Γ²₂₁ = Γ³₁₃ = Γ³₃₁ = 1/r
Γ²₃₃ = -sinθcosθ
Γ³₂₃ = Γ³₃₂ = cosθ/sinθ
 
▼ 重力場方程式
https://ulprojectmail.blogspot.com/2023/08/relativity-8.html
相対性理論 (8回目)
より
 
重力場方程式
アインシュタイン･テンソル
G^μν = R^μν - (1/2)g^μνR
エネルギー運動量テンソル
T^μν 
重力場方程式と変形
G^μν = (8πG/c⁴)T^μν 
R_μν = (8πG/c⁴){T_μν - (1/2)g_μνg_μνT^μν}
 
原点を中心とする球体の質量分布が存在する
内側(内部解)と何もない外側(外部解)とを区別する
そして、外部解のみ求める事にする
よって何もない真空中での解なので
エネルギー運動量テンソル
T^μν = 0とすると
R_μν = (8πG/c⁴){T_μν - (1/2)g_μνg_μνT^μν} = 0
または
G^μν = (8πG/c⁴)T^μν = 0
よって
アインシュタイン･テンソル
G^μν = R^μν - (1/2)g^μνR = 0
g_ανG^μα = g_ανR^μα - (1/2)g_ανg^μαR = 0
G^μ_ν = R^μ_ν - (1/2)δ^μ_νR = 0
g^μαG_αν = g^μαR_αν  - (1/2) g^μαg_ανR = 0
 
ここで(θ,φ)は対称の場合を考えているので
曲率(テンソル)は0と考えて良い
また、計量は対角成分のみ値を持つので
G⁰₀ = 0, G¹₁ = 0
のみを考えれば良いことになり
リッチテンソルも対角成分のみで良い
 
▼ リッチテンソル
https://ulprojectmail.blogspot.com/2023/08/curvature-1.html
曲率テンソル (1回目)
より
 
曲率テンソル
Rⁿ_m,αβ 
= (∂/∂x^α)Γⁿ_βm - (∂/∂x^β)Γⁿ_αm 
+ Γⁿ_αkΓ^k_βm  - Γⁿ_βkΓ^k_αm 
= -Rⁿ_m, βα (α=β→0)
リッチテンソル
R_mβ = R^α_m,αβ 
曲率
R = g^mβR_mβ 
 
上記理由によりR_ααのみ求めるので
R_μν = (8πG/c⁴){T_μν - (1/2)g_μνg_μνT^μν} = 0
より
R_αα = 0となる
 
R_αα = R^k_α,kα 
= (∂/∂x^k)Γ^k_αα - (∂/∂x^α)Γ^k_kα + Γ^k_kiΓⁱ_αα - Γ^k_αiΓⁱ_kα 
 
R₀₀ = R^k_0,k0 
= (∂/∂x^k)Γ^k₀₀ - (∂/∂x⁰)Γ^k_k0 + Γ^k_kiΓⁱ₀₀ - Γ^k_0iΓⁱ_k0 
= (∂/∂x¹)Γ¹₀₀ + Γ^k_k1Γ¹₀₀ - Γ^k_0iΓⁱ_k0 
= (∂/∂x¹)Γ¹₀₀ + (Γ⁰₀₁ + Γ¹₁₁ + Γ²₂₁ + Γ³₃₁)Γ¹₀₀ 
- (Γ⁰₀₁Γ¹₀₀) - (Γ¹₀₀Γ⁰₁₀)
= (∂/∂x¹)Γ¹₀₀ 
+ (Γ⁰₀₁ + Γ¹₁₁ + Γ²₂₁ + Γ³₃₁ - 2Γ⁰₀₁)Γ¹₀₀ 
= (∂/∂x¹)Γ¹₀₀ 
+ (Γ¹₁₁ + Γ²₂₁ + Γ³₃₁ - Γ⁰₀₁)Γ¹₀₀ 
= (∂/∂r){(1/2)a'e^a-b}
+ {(1/2)b' + (1/r) + (1/r) - (1/2)a'}(1/2)a'e^a-b 
= (1/2){a"e^a-b + (a'² - a'b')e^a-b}
+ (a'b'/4 + a'/r - a'²/4)e^a-b 
= e^a-b(a"/2 + a'²/2 - a'b'/2 + a'b'/4 + a'/r - a'²/4)
= e^a-b(a"/2 + a'²/4 - a'b'/4 + a'/r)
 
R₁₁ = R^k_1,k1 
= (∂/∂x^k)Γ^k₁₁ - (∂/∂x¹)Γ^k_k1 + Γ^k_kiΓⁱ₁₁ - Γ^k_1iΓⁱ_k1 
= (∂/∂x¹)Γ¹₁₁ - (∂/∂x¹)(Γ⁰₀₁ + Γ¹₁₁ + Γ²₂₁ + Γ³₃₁)
+ Γ^k_k1Γ¹₁₁ - Γ^k_1iΓⁱ_k1 
= (∂/∂x¹)Γ¹₁₁ - (∂/∂x¹)(Γ⁰₀₁ + Γ¹₁₁ + Γ²₂₁ + Γ³₃₁)
+ (Γ⁰₀₁ + Γ¹₁₁ + Γ²₂₁ + Γ³₃₁)Γ¹₁₁ 
- (Γ^k₁₀Γ⁰_k1 + Γ^k₁₁Γ¹_k1 + Γ^k₁₂Γ²_k1 + Γ^k₁₃Γ³_k1)
= (∂/∂x¹)Γ¹₁₁ - (∂/∂x¹)(Γ⁰₀₁ + Γ¹₁₁ + Γ²₂₁ + Γ³₃₁)
+ (Γ⁰₀₁ + Γ¹₁₁ + Γ²₂₁ + Γ³₃₁)Γ¹₁₁ 
- (Γ⁰₁₀Γ⁰₀₁ + Γ¹₁₁Γ¹₁₁ + Γ²₁₂Γ²₂₁ + Γ³₁₃Γ³₃₁)
= (∂/∂r)(1/2)b'
- (∂/∂r){(1/2)a' + (1/2)b' + 1/r + 1/r}
+ {(1/2)a' + (1/2)b' + 1/r + 1/r}(1/2)b'
- {(1/2)a'(1/2)a' + (1/2)b'(1/2)b'
+ (1/r)(1/r) + (1/r)(1/r)}
= (1/2)b" - {(1/2)a" + (1/2)b" - 2/r²}
+ (1/4)a'b' + (1/4)b'² + b'/r
- (1/4)a'² - (1/4)b'² - 2/r² 
= (1/2)b" - (1/2)a" - (1/2)b" + 2/r² 
+ (1/4)a'b'  + b'/r - (1/4)a'² - 2/r² 
=  -a"/2 + a'b'/4 + b'/r - a'²/4
 
R₂₂ = R^k_2,k2 
= (∂/∂x^k)Γ^k₂₂ - (∂/∂x²)Γ^k_k2 + Γ^k_kiΓⁱ₂₂ - Γ^k_2iΓⁱ_k2 
= (∂/∂x¹)Γ¹₂₂ - (∂/∂x²)Γ³₃₂ 
+ Γ^k_k1Γ¹₂₂ - (Γ^k₂₀Γ⁰_k2 + Γ^k₂₁Γ¹_k2 + Γ^k₂₂Γ²_k2 + Γ^k₂₃Γ³_k2)
= (∂/∂x¹)Γ¹₂₂ - (∂/∂x²)Γ³₃₂ 
+ (Γ⁰₀₁ + Γ¹₁₁ + Γ²₂₁ + Γ³₃₁)Γ¹₂₂ 
- (Γ²₂₁Γ¹₂₂ + Γ¹₂₂Γ²₁₂ + Γ³₂₃Γ³₃₂)
= (∂/∂x¹)Γ¹₂₂ - (∂/∂x²)Γ³₃₂ 
+ (Γ⁰₀₁ + Γ¹₁₁ + Γ²₂₁ + Γ³₃₁)Γ¹₂₂ 
- (2Γ²₂₁Γ¹₂₂ + Γ³₂₃Γ³₃₂)
= (∂/∂r)(-re^-b) - (∂/∂θ)(cosθ/sinθ)
+ {(1/2)a' + (1/2)b' + 1/r + 1/r }(-re^-b)
- {2(1/r)(-re^-b) + (cosθ/sinθ)²}
= (-e^-b + rb'e^-b) - (-sinθ/sinθ - cos²θ/sin²θ)
- {(1/2)a' + (1/2)b' + 2/r}re^-b 
- {-2e^-b + cos²θ/sin²θ}
= -e^-b + rb'e^-b + 1
+ {-(1/2)ra' - (1/2)rb' - 2}e^-b + 2e^-b 
= {-1 + rb' -(1/2)ra' - (1/2)rb' – 2 + 2}e^-b + 1
= {-1 + (1/2)rb' -(1/2)ra'}e^-b + 1
= {-1 + (r/2)(b' - a')}e^-b + 1
 
R₃₃ = R^k_3,k3 
= (∂/∂x^k)Γ^k₃₃ - (∂/∂x³)Γ^k_k3 + Γ^k_kiΓⁱ₃₃ - Γ^k_3iΓⁱ_k3 
= (∂/∂x¹)Γ¹₃₃ + (∂/∂x²)Γ²₃₃ 
+ Γ^k_k1Γ¹₃₃ + Γ^k_k2Γ²₃₃ 
- Γ^k₃₀Γ⁰_k3 - Γ^k₃₁Γ¹_k3 - Γ^k₃₂Γ²_k3 - Γ^k₃₃Γ³_k3 
= (∂/∂x¹)Γ¹₃₃ + (∂/∂x²)Γ²₃₃ 
+ (Γ⁰₀₁ + Γ¹₁₁ + Γ²₂₁ + Γ³₃₁)Γ¹₃₃ 
+ (Γ⁰₀₂ + Γ¹₁₂ + Γ²₂₂ + Γ³₃₂)Γ²₃₃ 
- Γ³₃₁Γ¹₃₃ - Γ³₃₂Γ²₃₃ - Γ¹₃₃Γ³₁₃ - Γ²₃₃Γ³₂₃ 
= (∂/∂x¹)Γ¹₃₃ + (∂/∂x²)Γ²₃₃ 
+ (Γ⁰₀₁ + Γ¹₁₁ + Γ²₂₁ + Γ³₃₁)Γ¹₃₃ 
+ Γ³₃₂Γ²₃₃ - 2Γ³₃₁Γ¹₃₃ - 2Γ³₃₂Γ²₃₃ 
= (∂/∂x¹)Γ¹₃₃ + (∂/∂x²)Γ²₃₃ 
+ (Γ⁰₀₁ + Γ¹₁₁ + Γ²₂₁ + Γ³₃₁)Γ¹₃₃ 
- 2Γ³₃₁Γ¹₃₃ - Γ³₃₂Γ²₃₃ 
= (∂/∂r){-(rsin²θ)e^-b} + (∂/∂θ)(-sinθcosθ)
+ {(1/2)a' + (1/2)b' + 1/r + 1/r}{-(rsin²θ)e^-b}
- 2(1/r){-(rsin²θ)e^-b} – (cosθ/sinθ)(-sinθcosθ)
= -sin²θe^-b + rsin²θb'e^-b - cos²θ + sin²θ
+ {-(1/2)ra' - (1/2)rb' - 2}sin²θe^-b 
+ 2sin²θe^-b + cos²θ
= sin²θ
+ {-1 + rb' - (1/2)ra' - (1/2)rb' – 2 + 2}sin²θe^-b 
= {-1 + (1/2)rb' - (1/2)ra'}sin²θe^-b + sin²θ
= [{-1 + (r/2)(b' - a')}e^-b + 1]sin²θ
 
 
■ 結果
▼ リッチテンソル
R₀₀ = R^k_0,k0 = e^a-b(a"/2 + a'²/4 - a'b'/4 + a'/r) = 0
R₁₁ = R^k_1,k1 = -a"/2 + a'b'/4 + b'/r - a'²/4 = 0
R₂₂ = R^k_2,k2 = {-1 + (r/2)(b' - a')}e^-b + 1 = 0
R₃₃ = R^k_3,k3 = [{-1 + (r/2)(b' - a')}e^-b + 1]sin²θ = 0