N88-BASICで懸垂線 (5回目)

2024/8/4(日)
N88-BASICで懸垂線 (5回目)
 
(catenary)
懸垂線(カテナリー、紐を垂らしたときの曲線)
左端が原点

 
■ 前提
▼ 参照
https://ulprojectmail.blogspot.com/2024/08/catenary-5.html
懸垂線 (5回目)
より
 
▼ 定義
g:重力加速度(m/s²)
ρ:紐の密度(kg/m)
H:水平張力(N)
y(x):懸垂線(カテナリー)
y'(x):懸垂線の傾き
L:紐の長さ(m)
x₁:紐の右端のx座標
y₁:紐の右端のy座標
x₀:紐の底のx座標
 
λ = ρg/H, H = T(x)cosθ(x) = const.
α = y₁/L ≠ 1
β = log{(1+α)/(1-α)}
γ = (1/L)cosh(β/2)
 
▼ 懸垂線f(x)
y(x) = (1/λ){cosh(λx-λx₀) - cosh(λx₁-λx₀)} + y₁ 
 
▼ 関係式
y'(x) = sinh(λx-λx₀)
L = (1/λ){sinh(λx₁-λx₀) + sinh(λx₀)}
y₁ = (1/λ){cosh(λx₁-λx₀) - cosh(λx₀)}
 
▼ 関係式
λx₀ = (λx₁-β)/2
x₀ = (1/2)(x₁-β/λ)
 
▼ 近似式
|λx₁/2| << 1の時
H = x₁ρg/{2√{6(1/(γx₁) - 1)}}
 
▼ ニュートン法
f(H) = 2γsinh(λx₁/2) - λ
f'(H) = (λ/H){1 - γx₁cosh(λx₁/2)}
 
H₀ = 適当に決めて
H_n ＞ 0
ΔH_n = f(H_n)/f'(H_n)
H_n+1 = H_n - ΔH_n
H = H_n+1 (if |ΔH_n| < ε)
 
 
■ 解説
近似式を初期値としてニュートン法によりHを求め
紐を垂らした時の曲線f(x)を描画しました
 
 
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