N88-BASICで懸垂線(改訂版)

2025/8/25(月)
N88-BASICで懸垂線(改訂版)
 
(catenary)
懸垂線(カテナリー、紐を垂らしたときの曲線)
 
■ 前提
https://ulprojectmail.blogspot.com/2025/08/catenary-8.html
懸垂線(改訂版) (8回目)
より
 
▼ 定義
g  :重力加速度[m/s²]
ρ :紐の線密度[kg/m]
L  :紐の長さ[m] (0 < √(x₁² + y₁²) < L)
x₁ :紐の両端間の水平距離[m]
y₁ :紐の左端に対する右端の高さ[m]
が分かっている
 
H  :水平張力[N] (紐の頂点での張力)
x₀ :左端から紐の底までの水平距離[m]
y  :紐の高さ[m] (紐の左端を原点とするxの関数)
 
▼ H
H = ρgλ
 
▼ y(x)のグラフ
λをニュートン法で求める
α = log{(1 + y₁/L)/(1 - y₁/L)}と置く
β = (1/L)cosh(α/2)と置く
f(λ) = 2βsinh(x₁/(2/λ)) - 1/λ = 0
f'(λ) = (1/λ²){1 - βx₁cosh(x₁/(2λ))}
 
初期値λ₀ = x₁/[2√{6/(βx₁) - 6}]      … 近似式
Δλ_n = f(λ_n)/f'(λ_n)
λ_n+1 = λ_n - Δλ_n 
λ = λ_n+1 (if |Δλ_n| < ε)
以上により誤差ε程度で λ を求めることができる
 
L, x₁, y₁ から求めたλを以下に代入
α = log{(1 + y₁/L)/(1 - y₁/L)}と置く
x₀ = (1/2)(x₁ - λα)
y(x) = λ{cosh(x/λ - x₀/λ) - cosh(x₀/λ)}
 
■ 解説
▼ 操作
矢印キーまたはマウスで右端を移動する

Alt+6で高速化します
 
 
VL,NL-BASICとdlg～.zip(cate201.bas)は
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