量子力学2 (1回目)

2024/6/6(木)
量子力学2 (1回目)
 
(Quantum mechanics)
 
クライン･ゴルドン方程式
 
 
■ 前提
https://ulprojectmail.blogspot.com/2023/05/quantum-1.html
量子力学 (1回目)
https://ulprojectmail.blogspot.com/2023/05/relativity-2.html
相対性理論 (2回目)
https://ulprojectmail.blogspot.com/2023/09/electro-2.html
電磁気学 (2回目)
https://ulprojectmail.blogspot.com/2023/09/electro-4.html
電磁気学 (4回目)
 
▼ 定義
A :振幅(m)
λ:波長(m)(m/回)
k :角波数(rad/m) [k = 2π/λ]
ω:各振動数(rad/s) [ω = 2πf]
t :時間(s)
ν:物質波などの振動数(Hz)
c :光速(m/s)
x :位置ベクトル(m)
m :質量(kg)
E :エネルギー(J)
p :運動量(kg･m/s) [p = mv]
h :プランク定数(6.62607015×10^-34J･s)
ℏ :ディラック定数 [ℏ = h / (2π)]
 
ナブラ∇ = (∂/∂x) = (∂/∂x,∂/∂y,∂/∂z)
grad f = ∇f , div E = ∇･E , rot E = ∇×E 
ラプラシアン∇･∇ = ∇² = Δ
ダランべルシアン
□ = ∂^μ∂_μ = -(1/c²)(∂²/∂t²) + Δ
 
素粒子
p = h/λ = ℏk
k = p/ℏ
p = E/c、λ=c/ν
E = pc = pνλ = hν = ℏω
ω = E/ℏ
 
波動関数
Ψ(x,t) = Aexp{i(kx - ωt)}
 
■ 導出
▼ エネルギーと運動量
Ψ(x,t) = Aexp{i(kx - ωt)}
= Aexp{i(p/ℏ)x - i(E/ℏ)t}
 
(∂/∂t)Ψ = -i(E/ℏ)Ψ
E = iℏ(∂/∂t)
 
(∂/∂x)Ψ = i(p/ℏ)Ψ
p = -iℏ(∂/∂x)
 
▼ シュレディンガー方程式
p = -iℏ(∂/∂x)
V:ポテンシャルエネルギー
p = mv , v = p/m , E = (1/2)mv² 
 
E = |p|²/(2m) + V  … (|v| << |c|)
= {-iℏ(∂/∂x)}²/(2m) + V
= {-ℏ²/(2m)}(∂²/∂x²) + V
波動関数をΨと置くと
H = {-ℏ²/(2m)}(∂²/∂x²) + V
E = iℏ(∂/∂t)
HΨ = EΨ  … シュレディンガー方程式
 
▼ クライン･ゴルドン方程式
E = iℏ(∂/∂t)
p = -iℏ(∂/∂x)
E² = (mc²)² + |pc|² 
 
{iℏ(∂/∂t)}² = (mc²)² + {-iℏc(∂/∂x)}² 
-ℏ²(∂²/∂t²) = m²c⁴ - ℏ²c²(∂²/∂x²)
 
(-1/c²)(∂²/∂t²) + (∂²/∂x²) - m²c²/ℏ² = 0
(-1/c²)(∂²/∂t²) + Δ - m²c²/ℏ² = 0
□ - m²c²/ℏ² = 0
特殊相対論的波動関数をφとすると
(□ - m²c²/ℏ²)φ = 0  … クライン･ゴルドン方程式
 
 
■ 結果
▼ クライン･ゴルドン方程式
-ℏ²(∂²/∂t²)φ = {-ℏ²c²(∂²/∂x²) + m²c⁴}φ
(□ - m²c²/ℏ²)φ = 0