量子力学2 (2回目)

2024/6/9(日)
量子力学2 (2回目)
 
(Quantum mechanics)
 
ディラック方程式
 
 
■ 前提
https://ulprojectmail.blogspot.com/2023/05/quantum-1.html
量子力学 (1回目)
https://ulprojectmail.blogspot.com/2023/05/relativity-2.html
相対性理論 (2回目)
https://ulprojectmail.blogspot.com/2023/09/electro-2.html
電磁気学 (2回目)
https://ulprojectmail.blogspot.com/2023/09/electro-4.html
電磁気学 (4回目)
 
▼ 定義
A :振幅(m)
λ:波長(m)(m/回)
k :角波数(rad/m) [k = 2π/λ]
ω:各振動数(rad/s) [ω = 2πf]
t :時間(s)
ν:物質波などの振動数(Hz)
c :光速(m/s)
x :位置ベクトル(m)
m :質量(kg)
E :エネルギー(J)
p :運動量(kg･m/s) [p = mv]
h :プランク定数(6.62607015×10^-34J･s)
ℏ :ディラック定数 [ℏ = h / (2π)]
 
ナブラ∇ = (∂/∂x) = (∂/∂x,∂/∂y,∂/∂z)
grad f = ∇f , div E = ∇･E , rot E = ∇×E 
ラプラシアン∇･∇ = ∇² = Δ
ダランべルシアン
□ = ∂^μ∂_μ = -(1/c²)(∂²/∂t²) + Δ
 
素粒子
p = h/λ = ℏk
k = p/ℏ
p = E/c、λ=c/ν
E = pc = pνλ = hν = ℏω
ω = E/ℏ
 
▼ クライン･ゴルドン方程式
E = iℏ(∂/∂t)
p = -iℏ(∂/∂x)
E² = (mc²)² + |pc|² 
 
{iℏ(∂/∂t)}² = (mc²)² + {-iℏc(∂/∂x)}² 
-ℏ²(∂²/∂t²) = -ℏ²c²(∂²/∂x²) + m²c⁴ 
 
-ℏ²(∂²/∂t²)φ = {-ℏ²c²(∂²/∂x²) + m²c⁴}φ
(□ - m²c²/ℏ²)φ = 0
 
■ 導出
▼ 1回微分の波動方程式(ディラック方程式)
クライン･ゴルドン方程式
{iℏ(∂/∂t)}² = {-iℏc(∂/∂x)}² + (mc²)² 
 
i=x,y,z
x = x_i 
(∂/∂t)φ = {α_i(∂/∂x_i) + β}φ
この式に上式の2乗を外した係数を掛けておく
iℏ(∂/∂t)φ = {-iℏcα_i(∂/∂x_i) + βmc²}φ
(ディラック方程式)
 
▼ α,βの条件を求める
i,j = x,y,z
{α_i(∂/∂x_i)}² 
=
{α_x(∂/∂x)+α_y(∂/∂y)+α_z(∂/∂z)}
{α_x(∂/∂x)+α_y(∂/∂y)+α_z(∂/∂z)}
= α_i²(∂²/∂x_i²)
+ α_xα_y(∂²/∂x∂y) + α_xα_z(∂²/∂x∂z)
+ α_yα_x(∂²/∂y∂x) + α_yα_z(∂²/∂y∂z)
+ α_zα_x(∂²/∂z∂x) + α_zα_y(∂²/∂z∂y)
= α_i²(∂²/∂x_i²)
+ (α_xα_y + α_yα_x)(∂²/∂x∂y)
+ (α_yα_z + α_zα_y)(∂²/∂y∂z)
+ (α_zα_x + α_xα_z)(∂²/∂z∂x)
= α_k²(∂²/∂x_k²)
+ (α_iα_j + α_jα_i)(∂²/∂x_i∂y_j) (i ≠ j)
 
iℏ(∂/∂t) = {-iℏcα_i(∂/∂x_i) + βmc²}
 
を2乗する
(i ≠ j)
 
-ℏ²(∂²/∂t²) = {-iℏcα_i(∂/∂x_i) + βmc²}² 
 
= -ℏ²c²{α_i(∂/∂x_i)}² - iℏcα_i(∂/∂x_i)βmc² 
- βmc²iℏcα_i(∂/∂x_i) + β²m²c⁴ 
 
= -ℏ²c²α_i²(∂²/∂x_i²)
- ℏ²c²(α_iα_j + α_jα_i)(∂²/∂x_i∂y_j)
- iℏmc³(α_iβ + βα_i)(∂/∂x_i) + β²m²c⁴ 
と
クライン･ゴルドン方程式
-ℏ²(∂²/∂t²) = -ℏ²c²(∂²/∂x_i²) + m²c⁴ 
を比較して
 
-ℏ²c²α_i²(∂²/∂x_i²) = -ℏ²c²(∂²/∂x_i²)
- ℏ²c²(α_iα_j + α_jα_i)(∂²/∂x_i∂y_j) = 0
- iℏmc³(α_iβ + βα_i)(∂/∂x_i) = 0
β²m²c⁴ = m²c⁴ 
より
 
α_i² = 1
α_iα_j + α_jα_i = 0 (i ≠ j)
α_iβ + βα_i = 0
β² = 1
ここで
 
α_i = (β, α_x, α_y, α_z)
と置くと
 
クロネッカーのデルタδ_ij 
= 0 (if i ≠ j), 1 (if i ＝ j)
= diag(1,1,1,1)
 
α_iα_j + α_jα_i = 2δ_ij 
 
▼ α,βを求める
 
 
 
 
■ 結果
▼ ディラック方程式
iℏ(∂/∂t)φ = {-iℏcα_i(∂/∂x_i) + βmc²}φ
 
▼ α,βの関係
α_i = (β, α_x, α_y, α_z)と置く
 
クロネッカーのデルタδ_ij 
= 0 (if i ≠ j), 1 (if i ＝ j)
= diag(1,1,1,1)
 
α_iα_j + α_jα_i = 2δ_ij