終端速度2 (1回目)
2024/ 9 / 14 ( 土 ) 終端速度 2 ( 1 回目 ) (Terminal velocity) 速度の 2乗に比例する空気抵抗 と重力 のある 垂直運動 (上向きを正としたa, v, yの導出) ■ 導出 ▼ 定義 g:重力加速度(m/s 2 ) v 0 :初速度(m/s) v:速度(m/s) k:空気抵抗の比例定数(N･s/m) … 1m/s 毎の力 ( N) m:質量(kg) F:力(N) a:加速度(m/s 2 ) y :位置(m) y 0 :初期位置(m) v ∞ :終端速度(m/s) ▼ 微分方程式 上向きを正とする F = ma = -mg - kv 2 (v/|v|) a = -g - (k/m)v 2 (v/|v|) = (k/m) {- mg/k - v 2 (v/|v|)} j 2 = -v/|v|と置くと …(速度の逆方向) a = (k/m) (j 2 v 2 - mg/k ) ▼ 終端速度 j 2 = -v/|v| …(速度の逆方向) a = (k/m) (j 2 v 2 - mg/k ) a = 0 の時が終端速度 v ∞ < 0なので a = (k/m)( j 2 v ∞ 2 - mg/k ) = 0 j 2 v ∞ 2 = mg/k v ∞ = ±(1/j)√( mg/k ) v ∞ < 0 ⇒ j 2 = -v/|v| = 1 ⇒ v ∞ = -√( mg/k ) v ∞ > 0 ⇒ j 2 = -v/|v| = -1 ⇒ v ∞ = (1/i)√( mg/k ) よって v ∞ = -(j 2 /j)√( mg/k ) = -j√( mg/k ) w = -√( mg/k ) = v ∞ /j, λ = √( g k / m)と置くと λ/w = -√( g k / m)/√( mg/k ) = - k /m a = (k/m) (j 2...
