投稿

6月, 2023の投稿を表示しています

量子力学 (9回目)

2023/6/30(金) 量子力学 (9回目) 式にミスがあり修正しました 2r/a → 2r/(na)   (Quantum mechanics)   水素原子モデルのシュレディンガー方程式 s軌道(ℓ=0, m=0)の波動関数と存在確率関数 1s軌道(n=1, ℓ=0, m=0)の規格化     ■ 定数など E    :エネルギー(J) h    :プランク定数(6.62607015×10 -34 J･s) ℏ    :ディラック定数 [ℏ = h / (2π)] ε 0 :真空中の誘電率(F/m) {(F)=(C/V)} 　　= 8.8541878128×10 -12 (F/m) Z    :原子番号 e    :電子の電荷(C) = 1.602176634×10 -19 C m e  :電子の質量(kg) = 9.1093837015×10 -31 kg k = 1/(4πε 0 ) … (N･m 2 /C 2 ) V(r) = -ke 2 /r … (or -kZe 2 /r):ポテンシャル   n:主量子数(n = 1,2,3,…)(K,L,M,N,…) ℓ:方位量子数(0 ≦ ℓ ≦ n-1)(s,p,d,f,g,…) (角運動量量子数) m:磁気量子数(m = 0,±1,±2,…)(|m| ≦ ℓ) (n,ℓ,m∈Z) s:スピン量子数(1/2[↑],-1/2[↓])   軌道:obit 軌道の様なもの:obital     ■ 導出 ▼ 存在確率 ヤコビアンr 2 sinθ   導出は https://ulprojectmail.blogspot.com/2023/06/polar-1.html 極座標 (1回目)   dxdydz = r 2 sinθdrdθdφ   波動関数Ψ(r,θ,φ) = R(r)Y(θ,φ) = R(r)Θ(θ)Φ(φ) 存在確率P(r,θ,φ) = |Ψ(r,θ,φ)| 2 dxdydz = |Ψ(r,θ,φ)| 2 r 2 sinθdrdθdφ = ...
続きを読む

量子力学 (8回目)

2023/6/27(火) 量子力学 (8回目) (Quantum mechanics) 水素原子モデルのシュレディンガー方程式 R(r)を解く   R(r):動径関数   ■ 定数など ε 0 :真空中の誘電率(F/m) {(F)=(C/V)} Z    :原子番号 e    :電子の電荷(C) m e  :電子の質量(kg) k = 1/(4πε 0 ) … (N･m 2 /C 2 ) V(r) = -ke 2 /r … (or -kZe 2 /r):ポテンシャル     ■ 導出 ▼ R(r)を求める Λ = ℏ 2 ℓ(ℓ+1) を [{-ℏ 2 /(2m e )}(1/r 2 )(d/dr){r 2 (d/dr)} + V(r) + Λ/(2m e r 2 ) - E]R = 0 に代入 [{-ℏ 2 /(2m e )}(1/r 2 )(d/dr){r 2 (d/dr)} + V(r) + ℏ 2 ℓ(ℓ+1)/(2m e r 2 ) - E]R = 0   (-2m e /ℏ 2 )倍する [(1/r 2 )(d/dr){r 2 (d/dr)} - (2m e /ℏ 2 ){V(r)-E} - ℓ(ℓ+1)/r 2 ]R = 0     ▼ S(r)の式にする R(r) = S(r)/rと置く (d/dr)(S/r) = (1/r)(dS/dr) - S/r 2     (d/dr){r 2 (d/dr)}(S/r) = (d/dr)[r 2 {(1/r)(dS/dr) - S/r 2 }] = (d/dr){r(dS/dr) - S} = (d/dr){r(dS/dr)} - (dS/dr)} = r(dS 2 /dr 2 ) + (dS/dr) - (dS/dr) = r(dS 2 /dr 2 ) を使って整理する   [(1/r 2 )(d/dr){r 2 (d/dr)} - (2m e /ℏ 2 ){V(r)-E} - ℓ(ℓ+1)/r 2 ]R   = (1/r 2 )(d/dr){r 2 (d/dr)}(S/r) - (2m e /ℏ 2 ){V(r)-E}(...
続きを読む

量子力学 (7回目)

2023/6/25(日) 量子力学 (7回目)   (Quantum mechanics)   水素原子モデルのシュレディンガー方程式 Φ(φ)と Θ(θ)を解く Y(θ,φ)=Φ(φ)Θ(θ):球面調和関数 ■ 定数など ε 0 :真空中の誘電率(F/m) {(F)=(C/V)} Z    :原子番号 e    :電子の電荷(C) m e  :電子の質量(kg) k = 1/(4πε 0 ) … (N･m 2 /C 2 ) V(r) = -ke 2 /r … (or -kZe 2 /r):ポテンシャル     ■ 導出 ▼ Φ(φ)を求める {-ℏ 2 (d 2 /dφ 2 ) - ν}Φ = 0 -ℏ 2 (d 2 Φ/dφ 2 ) = νΦ   d 2 Φ/dφ 2  = (-ν/ℏ 2 )Φ   Φ(φ) = Aexp(imφ) + Bexp(-imφ) と置くところだが逆方向の波も同じ事なので 簡単にするため Φ(φ) = Aexp(imφ) と置くと d 2 Φ/dφ 2  = (im) 2 Aexp(imφ) = (im) 2 Φ   (im) 2  = (-ν/ℏ 2 ) より m = ±√(ν)/ℏ ν = m 2 ℏ 2  より {-ℏ 2 (d 2 /dφ 2 ) - ν}Φ = 0 は {-ℏ 2 (d 2 /dφ 2 ) - (m 2 ℏ 2 )}Φ = 0   φは2πで一周するので Φ(0) = Φ(2π) と Φ(φ) = Aexp(imφ) = A{cos(mφ)+isin(mφ)} より Φ(0) = A = Φ(2π) = A{cos(2πm)+isin(2πm)} cos(2πm)+isin(2πm) = 1 なので cos(2πm) = 1, isin(2πm) = 0 よってm∈Z m = 0,±1,±2,… (m:磁気量子数)   {-ℏ 2 (d 2 /dφ 2 ) - (m 2 ℏ 2 )}Φ = 0の解は Φ(φ) = Aexp(imφ) … A:規格化定数     ▼ Θ(θ)を求める Λ = ℏ 2 λ、x = co...
続きを読む