マクスウェル方程式 (1回目)

2025/12/14(日)
マクスウェル方程式 (1回目)
 
(Maxwell)(Electro magnetics)

 
■ 問題
電磁場テンソルからマクスウェル方程式を導く(次回以降)

 
 
■ 特殊相対論的マクスウェル方程式
▼ 参照
電磁気学 (1回目)
電磁気学 (2回目)
電磁気学 (3回目)
電磁気学 (4回目)
 
▼ 定義
E  :電場(N/C)
B  :磁束密度(T) = (Wb/m²) = (Vs/m²) = (N/(A･m))
ρ :電荷密度[総量Q:電荷(C)]
ε₀:真空中の誘電率(F/m)[ε:誘電率]
μ₀:真空中の透磁率(N/A²)[μ:透磁率]
j  :電流密度[総量I:電流(A)]
φ :スカラーポテンシャル(V)
A  :ベクトルポテンシャル
c  :真空中の光速度(m/s)[c = 1/√(ε₀μ₀)導出略]
 
▼ ポテンシャル
E = -gradφ - ∂A/∂t
B = rotA 
 
▼ 四元ベクトル
電磁ポテンシャルA^μの定義
A^μ = (A⁰, A¹, A², A³) = (φ/c, A)
四元電流密度j^μの定義
j^μ = (j⁰, j¹, j², j³) = (cρ, j)
 
ナブラ∇ = (∂/∂x, ∂/∂y, ∂/∂z)
ミンコフスキー計量η^μν = diag(-1,1,1,1)
∂_μ = {(1/c)(∂/∂t), ∇}
∂^μ = η^μν∂_μ = {-(1/c)(∂/∂t), ∇}
ラプラシアンΔ = ∂²/∂x² + ∂²/∂y² + ∂²/∂z² 
ダランべルシアン
□ = ∂^μ∂_μ = -(1/c²)(∂²/∂t²) + Δ
 
▼ 特殊相対論的マクスウェルの方程式
□A^μ - ∂^μ(∂_νA^ν) = -μ₀j^μ 
より
∂_ν(∂^μA^ν - ∂^νA^μ) = μ₀j^μ 
 
電磁場テンソル
F^μν = ∂^μA^ν - ∂^νA^μ 
=
|0      Ex/c  Ey/c  Ez/c|
|-Ex/c   0     Bz   -By |
|-Ey/c  -Bz    0     Bx |
|-Ez/c   By   -Bx    0  |
 
∂_νF^μν = μ₀j^μ 
 
▼ 電磁場テンソル
ミンコフスキー計量η^μν = η_μν = diag(-1,1,1,1)
F_μν = ∂_μA_ν - ∂_νA_μ = η^μαη_νβF^αβ 
= η^μαη_νβ 
|0      Ex/c  Ey/c  Ez/c|
|-Ex/c   0     Bz   -By |
|-Ey/c  -Bz    0     Bx |
|-Ez/c   By   -Bx    0  |
= η^μα 
|0      Ex/c  Ey/c  Ez/c|
|Ex/c    0     Bz   -By |
|Ey/c   -Bz    0     Bx |
|Ez/c    By   -Bx    0  |
=
|0     -Ex/c -Ey/c -Ez/c|
|Ex/c    0     Bz   -By |
|Ey/c   -Bz    0     Bx |
|Ez/c    By   -Bx    0  |
 
∂_λ･(∂_μ×A_ν) = 0 より
∂_λF_μν + ∂_μF_νλ + ∂_νF_λμ 
= ∂_λ(∂_μA_ν - ∂_νA_μ) + ∂_μ(∂_νA_λ - ∂_λA_ν) + ∂_ν(∂_λA_μ - ∂_μA_λ)
= 0
∂_λF_μν + ∂_μF_νλ + ∂_νF_λμ = 0
 
 
■ 結果
▼ 定義
E  :電場(N/C)
B  :磁束密度(T) = (Wb/m²) = (Vs/m²) = (N/(A･m))
ρ :電荷密度[総量Q:電荷(C)]
ε₀:真空中の誘電率(F/m)[ε:誘電率]
μ₀:真空中の透磁率(N/A²)[μ:透磁率]
j  :電流密度[総量I:電流(A)]
φ :スカラーポテンシャル(V)
A  :ベクトルポテンシャル
c  :真空中の光速度(m/s)[c = 1/√(ε₀μ₀)導出略]
 
E = -gradφ - ∂A/∂t
B = rotA 
A^μ = (A⁰, A¹, A², A³) = (φ/c, A)
j^μ = (j⁰, j¹, j², j³) = (cρ, j)
∇ = (∂/∂x, ∂/∂y, ∂/∂z)
η^μν = diag(-1,1,1,1)
∂_μ = {(1/c)(∂/∂t), ∇}
∂^μ = η^μν∂_μ = {-(1/c)(∂/∂t), ∇}
Δ = ∂²/∂x² + ∂²/∂y² + ∂²/∂z² 
□ = ∂^μ∂_μ = -(1/c²)(∂²/∂t²) + Δ
F^μν = ∂^μA^ν - ∂^νA^μ =
|0      Ex/c  Ey/c  Ez/c|
|-Ex/c   0     Bz   -By |
|-Ey/c  -Bz    0     Bx |
|-Ez/c   By   -Bx    0  |
F_μν = ∂_μA_ν - ∂_νA_μ = η^μαη_νβF^αβ =
|0     -Ex/c -Ey/c -Ez/c|
|Ex/c    0     Bz   -By |
|Ey/c   -Bz    0     Bx |
|Ez/c    By   -Bx    0  |
 
▼ 特殊相対論的マクスウェルの方程式
□A^μ - ∂^μ(∂_νA^ν) = -μ₀j^μ 
 
▼ 電磁場テンソル
∂_νF^μν = μ₀j^μ 
∂_λF_μν + ∂_μF_νλ + ∂_νF_λμ = 0