ベクトルの図解 (3回目)

2026/5/30(土)
 
ベクトルの図解 (3回目)
 
■ ベクトルの外積
▼ 前回
https://ulprojectmail.blogspot.com/2026/05/vector-2.html
ベクトルの図解 (2回目)
 
より
a(→)=(ax, ay), b(→)=(bx, by)が作る平行四辺形の面積Sは
S = |axby - aybx|
となる
 
▼ 外積とは
a(→)=(ax, ay, az), b(→)=(bx, by, bz)の外積は
a(→)×b(→) = (ax, ay, az)×(bx, by, bz)
= (aybz-azby, azbx-axbz, axby-aybx)
で
a(→)とb(→)の両方に垂直かつ
a(→)からb(→)へ右手親指以外を合わせて親指の方向の
ベクトルで大きさが2ベクトルがつくる平行四辺形の
面積に等しい
 
▼ 外積の成分表記
x-y平面上に投影した2ベクトルがつくる平行四辺形の
面積Szは
Sz = axby - aybx 
これを外積のz軸成分とすると
a(→)からb(→)へ右手親指以外を合わせて親指の方向が
正となる
 
y-z, z-x平面でも同じように
Sx = aybz-azby 
Sy = azbx-axbz 
をつくり
 
a(→)×b(→) = (Sx, Sy, Sz) = (aybz-azby, azbx-axbz, axby-aybx)
とすると
a(→)とb(→)の両方に垂直かつ
a(→)からb(→)へ右手親指以外を合わせて親指の方向の
ベクトルをつくることができる
 
▼ 外積の大きさ
https://ulprojectmail.blogspot.com/2025/03/4-1.html
四平方の定理 (1回目)
https://ulprojectmail.blogspot.com/2025/03/4-2.html
四平方の定理 (2回目)
 
より
任意の形の四平方の定理
A2 + B2 + C2 = D2  
任意の形のDをA,B,C面(y-z, z-x, x-y平面)に
投影した面積で成り立つ
を使うと
 
a(→)とb(→)がつくる平行四辺形の面積をDとする
A = Sx , B = Sy , C = Sz と置くと
|a(→)×b(→)|2 = |(Sx, Sy, Sz)|2 
= Sx2 + Sy2 + Sz2 = A2 + B2 + C2 = D2  
となり
 
a(→)とb(→)がつくる平行四辺形の面積は
a(→)×b(→) = (Sx, Sy, Sz) = (aybz-azby, azbx-axbz, axby-aybx)
の大きさと一致することが分かる
 
▼ 結果
a(→)=(ax, ay, az), b(→)=(bx, by, bz)の外積は
a(→)×b(→) = (ax, ay, az)×(bx, by, bz)
= (aybz-azby, azbx-axbz, axby-aybx)
で
a(→)とb(→)の両方に垂直かつ
a(→)からb(→)へ右手親指以外を合わせて親指の方向の
ベクトルで大きさが2ベクトルがつくる平行四辺形の
面積に等しい

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