2024/ 7 /1( 月 ) 懸垂線 (1回目) ( c atenary) 懸垂線 ( カテナリー、紐を垂らしたときの曲線 ) ■ 導出 ▼ 定義 T : 紐の張力 θ:水平方向からの張力方向への角度 ds : x～x +dx 間 (点 A,B 間 )の紐の長さ ρ:紐の線密度 g : 重力加速度 f (x): 紐の高さ ▼ 微分方程式の導出 y = y (x) … 紐の形のグラフ y '( x) = dy/dx = tan θ (x) … ① 点 A : θ( x), T( x) 点 B : θ( x+dx) , T( x+dx) 点 A B 間の紐の長さ ds ds = √ (dx 2 + dy 2 ) = dx √ {1 + (dy/dx) 2 } 水平方向 T (x)cos θ (x) = T(x+dx)cos θ( x+dx) どの xでも同じ値なので T (x)cos θ (x) = const. H = T (x)cos θ (x) … ② と置く(水平張力) 垂直方向 d y/dx = y '( x) T (x)sin θ (x) + dsρ g = T(x+dx)sin θ( x+dx) ρ gdx √ {1 + (dy/dx) 2 } = T(x+dx)sin θ( x+dx) - T (x)sin θ (x) {T(x+dx)sin θ( x+dx)- T (x)sin θ (x)}/dx = ρ g √ {1 + (dy/dx) 2 } (d/dx){ T (x)sin θ (x)} = ρ g √ {1 + (dy/dx) 2 } … ③ ①,②より T (x)sin θ (x) = T(x)cos θ (x)sin θ (x)/cos θ (x) = T(x)cos θ (x)tan θ (x) = T(x)cos θ (x)(dy/dx) = H (dy/dx) を ③に代入 (d/dx){ H (dy/dx)} = ρ g √ {1 + (dy/dx) 2 } (d/dx) 2 y = ( ρ g/ H ) √ {1 + (dy/dx) 2 } λ = ρ g/ H , f(x) = dy/dx と置く (
