懸垂線 (2回目)
2024/ 6 /11 (木 ) 懸垂線 ( 2 回目 ) ( c atenary) 懸垂線 ( カテナリー、紐を垂らしたときの曲線 ) ( 紐の底を原点、両端の高さを同じにする ) ■ 前提 ▼ 定義 g:重力加速度(m/s 2 ) ρ:紐の密度(kg/m) H:水平張力(N) f(x):懸垂線(カテナリー) f'(x):懸垂線の傾き ds:x～x+dx間の紐の長さ ▼ 懸垂線f(x) A, B:積分定数 λ = ρg/H, H = T(x)cosθ(x) = const. y(x) = (1/λ)cosh(λx + A) + B y '(x) = sinh(λx + A) ds = cosh(λx + A)dx ■ 導出 ▼ 積分定数の決定 c osh(t) = {exp(t) + exp(- t )}/2 sinh(t) = {exp(t) - exp(- t )}/2 y (x) = (1/λ)cosh(λx + A) + B y '(x) = sinh(λx + A) x = 0 (y軸 ) を対称軸として紐の底は水平なので y ' (0) = 0 より y '( 0 ) = sinh(λ･ 0 + A) = 0 A = 0 f(x) = (1/λ)cosh(λx + A) + B = (1/λ)cosh(λx) + B y '(x) = sinh(λx + A) = sinh(λx) 原点を紐の底にするので f (0) = 0 より f( 0 ) = (1/λ)cosh(λ･0) + B = 0 (1/λ) + B = 0 B = - 1/λ f(x) = (1/λ)cosh(λx) + B = (1/λ)cosh(λx) - 1/λ = (1/λ) { cosh(λx) - 1 } ▼ 紐の長さ L x = -x 1 ～ x 1 として ds = cosh(λx + A)dx = cosh(λx)dx L = ∫ -x 1 x 1 ds = 2 ∫ 0 x 1 cos h( λx ) dx = ( 2 /λ)[sinh(λx)] 0 x 1 = = ( 2 /λ)sinh(λx 1 ) ■ 結果 ▼ 定義 g : 重
