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202 5 / 10/30 (木 ) 積分の公式   ( 4 回目 )   ( integral )   ■   公式 ▼ 三角関数 sin2x = 2sinxcosx cos2x = cos 2 x-sin 2 x = (1-sin 2 x)-sin 2 x = 1-2sin 2 x = cos 2 x-(1-cos 2 x) = 2cos 2 x-1 1-cosx = 2sin 2 (x/2) 1+cosx = 2cos 2 (x/2)   ▼ 双曲線関数 sinh(x) = {exp(x)-exp(-x)}/2 cosh(x) = {exp(x)+exp(-x)}/2 tanh(x) = {exp(x)-exp(-x)}/{exp(x)+exp(-x)}   ▼ 逆双曲線関数1 y = sinh(x) = {exp(x)-exp(-x)}/2 2yexp(x) = exp(2x)-1 exp(2x) - 2yexp(x) - 1 = 0 exp(x) = y±√(y 2 +1) ≧ 0 x = log{y+√(y 2 +1)} sinh -1 (y) = log|y+√(y 2 +1)|   ▼ 逆双曲線関数2 y = cosh(x) = {exp(x)+exp(-x)}/2 2yexp(x) = exp(2x)+1 exp(2x) - 2yexp(x) + 1 = 0 exp(x) = y±√(y 2 -1) ≧ 0 x = log{y+√(y 2 -1)}  … (y ≧ 1) cosh -1 (y) = log|y+√(y 2 -1)|     ■   微分 ▼ 逆双曲線関数の微分1 {sinh -1 (x)}' = {log{x+√(x 2 +1)}}' = {x+√(x 2 +1)}'{1/{x+√(x 2 +1)}} = {1+(x 2 +1)'(1/2)/√(x 2 +1)}/{x+√(x 2 +1)} = {1+x/√(x 2 +1)}/{x+√(x 2 +1)} = {√(x 2 +1)+x}/{x√(x 2 +1)+(x 2 +1)} = {(x 2 +1)-x 2 }/[{√(x 2 +1)-x}{x√(x 2 +1)+(x 2 +...

202 5 / 10/25 (土 ) 積分の公式   ( 3 回目 )   ( integral )   ■   公式 ▼ 三角関数 sin2x = 2sinxcosx cos2x = cos 2 x-sin 2 x = (1-sin 2 x)-sin 2 x = 1-2sin 2 x = cos 2 x-(1-cos 2 x) = 2cos 2 x-1 1-cosx = 2sin 2 (x/2) 1+cosx = 2cos 2 (x/2)   ▼ 双曲線関数 sinh(x) = {exp(x)-exp(-x)}/2 cosh(x) = {exp(x)+exp(-x)}/2 tanh(x) = {exp(x)-exp(-x)}/{exp(x)+exp(-x)}   ▼ 逆双曲線関数 y = tanh(x) = {exp(x)-exp(-x)}/{exp(x)+exp(-x)} exp(2x)-1 = yexp(2x)+y exp(2x)(1-y) = y+1 exp(2x) = (1+y)/(1-y) 2x = log|(1+y)/(1-y)| tanh -1 (y) = (1/2)log|(1+y)/(1-y)|     ■   微分 ▼ 逆双曲線関数の微分 2{tanh -1 (x)}' = {log|(1+x)/(1-x)|}' = {(1+x)/(1-x)}'{(1-x)/(1+x)} = [(1+x)'{1/(1-x)}+{(1+x){1/(1-x)}']{(1-x)/(1+x)} = [{1/(1-x)}+{(1+x)(-1){-1/(1-x) 2 }]{(1-x)/(1+x)} = [{1/(1-x)}+{(1+x)/(1-x) 2 }]{(1-x)/(1+x)} = {1+(1+x)/(1-x)}/(1+x) = {(1-x)+(1+x)}/{(1-x)(1+x)} = 2/(1-x 2 ) {tanh -1 (x)}' = 1/(1-x 2 )   ▼ 逆双曲線関数の微分の応用 {tanh -1 (sinx)}' = (sinx)'{1/(1-sin 2 x)} = cosx(1/cos 2 x) = 1/cosx   {tanh -1 (c...

202 5 / 10/20 ( 月 ) 積分の公式   ( 2 回目 )   ( integral )   ■   積分 (応用) ▼ 三角関数 f(θ) = cosθ + isinθ f'(θ) = -sinθ + icosθ if'(θ) = -isinθ - cosθ = -f(θ) f(θ) = -if'(θ)  … ① f(θ) = exp(iθ)と置くと f'(θ) = iexp(iθ) i f'(θ) = -exp(iθ) = -f(θ) f(θ) = -if'(θ) で式 ①を満たす   exp(iθ)  = cosθ + isinθ exp(-iθ) = cosθ - isinθ sinθ = {exp( i θ ) -  exp(- i θ )} /(2i) cosθ = {exp( i θ ) +  exp(- i θ )} /2 tanθ = {exp( i θ ) -  exp(- i θ )} / {exp( i θ ) +  exp(- i θ )} i   ▼ 双曲線関数 sinhθ = {exp( θ ) -  exp(- θ )} /2 coshθ = {exp( θ ) +  exp(- θ )} /2 tanhθ = {exp( θ ) -  exp(- θ )} / {exp( θ ) +  exp(- θ )}   ▼ 混合 isin(iθ) = {exp( - θ ) - exp( θ )} /2 = - sinhθ   cos(iθ) = {exp( - θ ) + exp( θ )} /2 =  cos hθ itan(iθ) = {exp( - θ ) - exp( θ )} / {exp( - θ ) + exp( θ )}   = -tanhθ   ▼ 双曲線関数 y = tanhθ = -itan(iθ) iy = tan(iθ) iθ = tan -1 (iy) θ = -itan -1 (iy) = tanh -1 y   ▼ √(r 2   + x 2 ) ∫√(r 2 ...