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N88-BASICでnのn乗の和

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202 5 / 11/8(土 ) N88-BASICでnのn乗の和   ( summation )   ■   nのn乗の和の1の位 ▼   問題 Σ n=1 100 n n   = 1 1   + 2 2   + 3 3   + … + 100 100   の 1の位はいくつか   ▼   参照 https://ulprojectmail.blogspot.com/2025/11/nn1summation.html nのn乗の和の1の位   より Σ n=1 100 n n   = 1 1   + 2 2   + 3 3   + … + 100 100   ≡ 0 (mod 10) (1の位は0)     ■   多桁演算 (正の整数の和積) ▼   設計 Σ n=1 100 n n   = 1 1   + 2 2   + 3 3   + … + 100 100   < 100 100 ･ 100 = 10 202   (203桁) より 文字変数 (最大255文字)で1文字1桁に対応させて足りるので 正の整数 255桁(文字)同士の和積を実装し計算する   n = 1～100までの各結果の下2桁を表示し 最後に Σ n=1 100 n n   の結果と計算時間を表示しています   ▼   結果 Σ n=1 100 n n   = 1 1   + 2 2   + 3 3   + … + 100 100   = 10037111574617644535170121071336194152854686194907 35145420151724372365800346347469712449437881324601 50776779198800002366059871900041784732217539059306 4838349778659735767513458533859817194489690276419...
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nのn乗の和の1の位

202 5 / 11/1 ( 土 ) nのn乗の和の1の位   ( summation )   ■   nのn乗の和の1の位 ▼   問題 Σ n=1 100 n n   = 1 1   + 2 2   + 3 3   + … + 100 100   の 1の位はいくつか   ■   考察 ▼   n n (1≦n≦100)を10で割った余りを調べる           5,6,7,8,…,100 (1～10のn乗を10で割った余りを以下に示す)      n   =1,2,3,4,   1 n   ≡ 1       (mod 10)   2 n   ≡ 2,4,8,6 (mod 10) … (2 4 8 16 (3)2 (6)4 …)   3 n   ≡ 3,9,7,1 (mod 10) … (3 9 27 81 (24)3 …)   4 n   ≡ 4,6     (mod 10) … (4 6 24 …)   5 n   ≡ 5       (mod 10) … (5 25 …)   6 n   ≡ 6       (mod 10) … (6 36 …)   7 n   ≡ 7,9,3,1 (mod 10) … (7 9 3 1 7 …)   8 n   ≡ 8,4,2,6 (mod 10) … (8 4 2 6 8 …)   9 n   ≡ 9,1     (mod 10) … (9 1 9 …) 10 n   ≡ 0      ...
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積分の公式 (4回目)

202 5 / 10/30 (木 ) 積分の公式   ( 4 回目 )   ( integral )   ■   公式 ▼ 三角関数 sin2x = 2sinxcosx cos2x = cos 2 x-sin 2 x = (1-sin 2 x)-sin 2 x = 1-2sin 2 x = cos 2 x-(1-cos 2 x) = 2cos 2 x-1 1-cosx = 2sin 2 (x/2) 1+cosx = 2cos 2 (x/2)   ▼ 双曲線関数 sinh(x) = {exp(x)-exp(-x)}/2 cosh(x) = {exp(x)+exp(-x)}/2 tanh(x) = {exp(x)-exp(-x)}/{exp(x)+exp(-x)}   ▼ 逆双曲線関数1 y = sinh(x) = {exp(x)-exp(-x)}/2 2yexp(x) = exp(2x)-1 exp(2x) - 2yexp(x) - 1 = 0 exp(x) = y±√(y 2 +1) ≧ 0 x = log{y+√(y 2 +1)} sinh -1 (y) = log|y+√(y 2 +1)|   ▼ 逆双曲線関数2 y = cosh(x) = {exp(x)+exp(-x)}/2 2yexp(x) = exp(2x)+1 exp(2x) - 2yexp(x) + 1 = 0 exp(x) = y±√(y 2 -1) ≧ 0 x = log{y+√(y 2 -1)}  … (y ≧ 1) cosh -1 (y) = log|y+√(y 2 -1)|     ■   微分 ▼ 逆双曲線関数の微分1 {sinh -1 (x)}' = {log{x+√(x 2 +1)}}' = {x+√(x 2 +1)}'{1/{x+√(x 2 +1)}} = {1+(x 2 +1)'(1/2)/√(x 2 +1)}/{x+√(x 2 +1)} = {1+x/√(x 2 +1)}/{x+√(x 2 +1)} = {√(x 2 +1)+x}/{x√(x 2 +1)+(x 2 +1)} = {(x 2 +1)-x 2 }/[{√(x 2 +1)-x}{x√(x 2 +1)+(x 2 +...
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積分の公式 (3回目)

202 5 / 10/25 (土 ) 積分の公式   ( 3 回目 )   ( integral )   ■   公式 ▼ 三角関数 sin2x = 2sinxcosx cos2x = cos 2 x-sin 2 x = (1-sin 2 x)-sin 2 x = 1-2sin 2 x = cos 2 x-(1-cos 2 x) = 2cos 2 x-1 1-cosx = 2sin 2 (x/2) 1+cosx = 2cos 2 (x/2)   ▼ 双曲線関数 sinh(x) = {exp(x)-exp(-x)}/2 cosh(x) = {exp(x)+exp(-x)}/2 tanh(x) = {exp(x)-exp(-x)}/{exp(x)+exp(-x)}   ▼ 逆双曲線関数 y = tanh(x) = {exp(x)-exp(-x)}/{exp(x)+exp(-x)} exp(2x)-1 = yexp(2x)+y exp(2x)(1-y) = y+1 exp(2x) = (1+y)/(1-y) 2x = log|(1+y)/(1-y)| tanh -1 (y) = (1/2)log|(1+y)/(1-y)|     ■   微分 ▼ 逆双曲線関数の微分 2{tanh -1 (x)}' = {log|(1+x)/(1-x)|}' = {(1+x)/(1-x)}'{(1-x)/(1+x)} = [(1+x)'{1/(1-x)}+{(1+x){1/(1-x)}']{(1-x)/(1+x)} = [{1/(1-x)}+{(1+x)(-1){-1/(1-x) 2 }]{(1-x)/(1+x)} = [{1/(1-x)}+{(1+x)/(1-x) 2 }]{(1-x)/(1+x)} = {1+(1+x)/(1-x)}/(1+x) = {(1-x)+(1+x)}/{(1-x)(1+x)} = 2/(1-x 2 ) {tanh -1 (x)}' = 1/(1-x 2 )   ▼ 逆双曲線関数の微分の応用 {tanh -1 (sinx)}' = (sinx)'{1/(1-sin 2 x)} = cosx(1/cos 2 x) = 1/cosx   {tanh -1 (c...
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