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微分方程式 (3回目)

2023/6/23(金) 微分方程式 (3回目)   (associated Laguerre differential equation)   ラゲールの陪微分方程式の特殊解 ラゲールの陪多項式     ■ 導出 ▼ ラゲールの微分方程式 xy" + (1-x)y' + ny = 0   y(x) = Σ[m=0～∞]a m x m   と仮定し xy" + (1-x)y' + ny = 0 に代入すると xΣ[m=2～∞]a m m(m-1)x m-2  + (1-x)Σ[m=1～∞]a m mx m-1   + nΣ[m=0～∞]a m x m  = 0   Σ[m=1～∞]a m+1 (m+1)mx m  + Σ[m=0～∞]a m+1 (m+1)x m   - Σ[m=1～∞]a m mx m  + Σ[m=0～∞]a m nx m  = 0   (a 1  + a 0 n) + Σ[m=1～∞] {a m+1 (m+1)m + a m+1 (m+1) - a m m + a m n}x m  = 0 より a 1  + na 0  = 0 (m 2  + 2m + 1)a m+1  + (n-m)a m  = 0 漸化式にすると a 1  = -na 0   a m+1  = -{(n-m)/(m+1) 2 }a m   この式はm = 0のときa 1  = -na 0  となり m = nのときから次の係数が0になるので m ≦ nより   a m+1  = -{(n-m)/(m+1) 2 }a m  … (m = 0～n)   任意のa 0 のときのa m はa 0 =1のときの任意倍に なるだけなのでa 0 =1で考えると   a m  = (-1) m {n(n-1)…(n-m+1)/(1 2 2 2 …m 2 )} = (-1) m (n!)/{(n-m)!(m!) 2 }   nCm = n!/{(n-m)!m!} より   (-1) m (n!)/{(n-m)!(m!) 2 } = (-1) m (nCm)(1/m!)   a m  = (-1) m (nCm)(1/m!) m = n(最高次数)のとき a n  = (-1) n (1/n!) なのでa n  = ±1になるように n!するとする(任意倍
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微分方程式 (2回目)

2023/6/21(水) 微分方程式 (2回目)   (associated Legendre differential equation)   ルジャンドルの陪微分方程式の特殊解 ルジャンドルの陪多項式     ■ 導出 ▼ m,n 0 ≦ m ≦ n, m,n∈Z で考える   ▼ 式変形 y = (1-x 2 ) m/2 u(x)と置く y'= (1-x 2 ) m/2 u' - mx(1-x 2 ) m/2-1 u y"= (1-x 2 ) m/2 u" - mx(1-x 2 ) m/2-1 u' - mx(1-x 2 ) m/2-1 u' + {mx 2 (m-2)(1-x 2 ) m/2-2  - m(1-x 2 ) m/2-1 }u = (1-x 2 ) m/2 u" - 2mx(1-x 2 ) m/2-1 u' + m(1-x 2 ) m/2-2 {x 2 (m-2) - (1-x 2 )}u = (1-x 2 ) m/2 u" - 2mx(1-x 2 ) m/2-1 u' + m(1-x 2 ) m/2-2 {mx 2  - 2x – 1 - x 2  + 2x}u = (1-x 2 ) m/2 u" - 2mx(1-x 2 ) m/2-1 u' + m(1-x 2 ) m/2-2 {(m-1)x 2  – 1}u   A = (1-x 2 ) m/2 、B = (1-x 2 )と置き y = Au y'= Au' - mxB -1 Au y"= Au" - 2mxB - 1 Au' + mB -2 A{(m-1)x 2  – 1}u を (1-x 2 )y" - 2xy' + {n(n+1) – m 2 /(1-x 2 )}y = 0 に代入   B[Au" - 2mxB - 1 Au' + mB -2 A{(m-1)x 2  – 1}u] - 2x(Au' - mxB -1 Au) + {n(n+1) – m 2 B - 1 }Au = 0   BAu" - 2mxAu' + mB - 1 A{(m-1)x 2  – 1}u - 2x
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微分方程式 (1回目)

2023/6/19(月) 微分方程式 (1回目)   (Legendre differential equation)   ルジャンドルの微分方程式の特殊解 ルジャンドルの多項式     ■ 導出 ▼ yを仮定 y = Σ[k=0～∞]B k x k  と置く   ▼ 係数B k の関係を求める y'= Σ[k=1～∞]kB k x k -1   y"= Σ[k=2～∞]k(k-1)B k x k -2     (1-x 2 )y" = Σ[k=2～∞]k(k-1)B k x k -2  - Σ[k=2～∞]k(k-1)B k x k   = Σ[k=0～∞](k+2)(k+1)B k +2 x k  - Σ[k=2～∞]k(k-1)B k x k   = Σ[k=0～∞](k+2)(k+1)B k +2 x k  - Σ[k=0～∞]k(k-1)B k x k   [ k = 0,1のときk(k-1)B k  = 0より ]   - 2xy'= Σ[k=1～∞](-2kB k x k ) = Σ[k=0～∞](-2kB k x k ) [ k = 0のとき-2kB k  = 0より ]   n(n+1)y = Σ[k=0～∞]{n(n+1)B k x k }   よって Σ[k=0～∞] {(k+2)(k+1)B k +2  - k(k-1)B k  -2kB k  + n(n+1)B k }x k  = 0   (k+2)(k+1)B k +2  - k(k-1)B k  -2kB k  + n(n+1)B k  = 0 B k +2  = [{k(k-1) + 2k - n(n+1)}/{(k+2)(k+1)}]B k   = [{k(k+1) - n(n+1)}/{(k+2)(k+1)}]B k   = [{k(k+1) - n(n+1)}/{(k+2)(k+1)}]B k     (n-k)(n+k+1) = n 2  + nk + n - kn - k 2  – k = n 2  + n - k 2  – k = -{k(k+1) - n(n+1)} より B k +2  = [-(n-k)(n+k+1)/{(k+2)(k+1)}]B k     y 1 (x) = Σ[m=0～∞]B 2m x 2m  … (B 0
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