曲率テンソル (3回目)
2023/8/5(土) 曲率テンソル (3回目) (Curvature tensor) ビアンキの恒等式の導出 ■ 定義 ▼ 曲率テンソル [∇ α ,∇ β ] e m = R n m, αβ e n と定義する g kn R n m, αβ = R k m, αβ = -g kn R n m, βα = -R k m, βα R n m, αβ = (∂/∂x α )Γ n βm - (∂/∂x β )Γ n αm + Γ n α k Γ k βm - Γ n β k Γ k αm ■ 導出 ▼ ビアンキの恒等式 Γ k ij = g ka Γ aij = (1/2)g ka {(∂g ja /∂X i )+(∂g ai /∂X j )-(∂g ij /∂X a )} 導出は https://ulprojectmail.blogspot.com/2023/07/christoffel-3.html クリストッフェル記号 (3回目) x':局所慣性系 以後、局所慣性系 クリストッフェル記号 = 0、g kn = g ( _ ) kn とする R k m, αβ = g kn R n m, αβ = g kn {(∂/∂x' α )Γ n βm - (∂/∂x' β )Γ n αm + Γ n α i Γ i βm - Γ n β i Γ i αm ) = g kn {(∂/∂x' α )Γ n βm - (∂/∂x' β )Γ n αm } = (1/2)g kn [(∂/∂x' α )g ni {(∂g mi /∂x' β )+(∂g iβ /∂x' m )-(∂g βm /∂x' i )} -(∂/∂x' β )g ni {(∂g mi /∂x' α )+(∂g iα /∂x' m )-(∂g αm /∂x' i )}] = (1/2)g kn g ni [(∂/∂x' α ){(∂g iβ /∂x' m )-(∂g βm /∂x' i )} -(∂/∂x' β ){(∂g iα /∂x' m )-(∂g αm /∂x&#
