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シュワルツシルト半径 (1回目)

2023/8/14(月) シュワルツシルト半径 (1回目)   (Schwarzschild radius) 極座標の微小不変量dsを求める   ■ 導出 ▼ 極座標の微小不変量ds https://ulprojectmail.blogspot.com/2023/07/polar-4.html 極座標 (4回目) より   g αβ  = diag(1, r 2 , r 2 sin 2 θ)   dw = cdtとして ds 2  = -dw 2  + dx 2  + dy 2  + dz 2   を極座標で求めると 時間軸を追加して g αβ  = diag(-1, 1, r 2 , r 2 sin 2 θ) dr α  = dw, dr,dθ,dφ として ds 2  = g αβ dx α dx β  = g αα dx α dx α   = -dw 2  + dr 2  + r 2 dθ 2  + r 2 sin 2 θdφ 2       ■ 結果 ▼ 極座標の微小不変量 ds 2  = -dw 2  + dr 2  + r 2 dθ 2  + r 2 sin 2 θdφ 2       ■ 別解 ▼ 極座標の全微分 https://ulprojectmail.blogspot.com/2023/06/polar-1.html 極座標 (1回目)   x = rsinθcosφ y = rsinθsinφ z = rcosθ   x α  = x,y,z、r β  = r,θ,φ 全微分 dx α  = (∂x α /∂r β )dr β   dx = sinθcosφdr+rcosθcosφdθ-rsinθsinφdφ   dy = sinθsinφdr+rcosθsinφdθ+rsinθcosφdφ dz = cosθdr-rsinθdθ   (a + b + c) 2  = (a+b) 2  + 2(a+b)c + c 2   = a 2  + b 2  + c 2  + 2(ab + bc + ca)   dx 2  = (sinθcosφdr) 2 +(rcosθcosφdθ) 2 +(rsinθsinφdφ) 2   + 2(sinθcosφdr)(rcosθcosφdθ) - 2(rcosθcosφdθ)(rsinθsinφdφ) - 2(r
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N88-BASICでエントロピー (3回目)

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2023/8/12(土) N88-BASICでエントロピー (3回目)   (Entropy)   式の説明など詳しくは https://ulprojectmail.blogspot.com/2023/04/entropy-2.html エントロピー (2回目) を参照して下さい     □ 水に関する値 (定圧:1気圧)   ΔvapH = 2.23  kJ/g … 比蒸発エンタルピー ΔfusH = 0.334 kJ/g … 比融解エンタルピー エンタルピー(Enthalpy):定圧時の熱量   Cp(g) = 1.86 J/(K･g) … 定圧比熱容量(気) Cp(l) = 4.20 J/(K･g) … 定圧比熱容量(液) Cp(s) = 2.10 J/(K･g) … 定圧比熱容量(固) 水のモル質量 = 18.01528… g/mol 1cal = 4.18605J     □ エントロピー変化量(ΔS)の計算   ΔS = ΔQ/T … (温度変化なし) (状態変化)   ΔS ≧ ∫dQ/T … (=は準静的過程) ∫dQ/T = ∫ T' T C/TdT = C(lnT-lnT') = ClnT/T' … 温度変化T'→T (dQ = CdT  … C:熱容量) … (温度変化あり)     □ 動作 水の質量を入力 水の状態を入力 温度、又は温度変化を入力 エントロピー変化を表示     VL,NL,XL-BASICとblg～.zip(ent003.bas)は 以下のリンクからダウンロードできます https://ulprojectmail.blogspot.com Readme.txtを読んで遊んで下さい
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相対性理論 (8回目)

2023/8/10(木) 相対性理論 (8回目)   一般相対性理論 (General relativity theory)   アインシュタインの重力場方程式の導出   ■ 導出 ▼ 比例式の簡単な例 微分が0(傾きが0) f'(x) = df/dx = 0 g'(x) = dg/dx = 0 となる関数の簡単な例を f(x) = 4 g(x) = 8 とすると g(x) = kf(x)と置けるので k = 2 g(x) = 2f(x)となる   ▼ 比例式 https://ulprojectmail.blogspot.com/2023/08/curvature-5.html 曲率テンソル (5回目) と 相対性理論 (6回目) 相対性理論 (7回目) より   アインシュタインテンソル G μν  = R μν  - (1/2)g μν R ∂G μν /∂x μ  = ∇ μ G μν  = 0 エネルギー運動量テンソル ∂T μν /∂x μ  = ∇ μ T μν  = 0 より 微分が0同士なので G μν  = kT μν   の関係があると置けるので ニュートン近似でkを決定する   またニュートン近似はcに対してx,y,z の変化が少ないのでu 0 のみつまりT 00 のみ考える また|v|<<|c|より ローレンツ係数γ = 1/√{1 - (v/c) 2 } ≒ 1   T μν  = ρc 2 u μ u ν  より T 00  = ρc 2 u 0 u 0  = ε = γ 2 ρc 2  = ρc 2     ▼ 重力場方程式の変形 G μν  = kT μν   G μν  = R μν  - (1/2)g μν R R μν  - (1/2)g μν R = kT μν   両辺にg μi g νj を掛ける g μi g νj R μν  - (1/2)g μi g νj g μν R = kg μi g νj T μν   R ij  - (1/2)g ij R = kT ij   両辺にg ij を掛ける g ij R ij  - (1/2)g ij g ij R = kg ij T ij   R i i  - (1/2)δ i i R = kT i i   R - (1/2)4R = kT R =
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曲率テンソル (5回目)

2023/8/8(火) 曲率テンソル (5回目)   (Curvature tensor)   アインシュタイン･テンソルの導出   ■ 定義 ▼ ビアンキの恒等式 曲率テンソル (3回目)より   R k m, αβ  + R k α , β m  + R k β , m α  = 0 R n m, αβ  + R n α , β m  + R n β , m α  = 0 ∇ γ R km , αβ  + ∇ α R km , β γ  + ∇ β R km , γ α  = 0 ∇ γ R n m, αβ  + ∇ α R n m, β γ  + ∇ β R n m, γ α  = 0   ▼ 曲率テンソルの反対称性 R n m , αβ  = -R n m , βα   R n m , αβ  = -R m n , αβ     ■ 導出 ▼ アインシュタインテンソルを求める ∇ μ G μν  = 0 となる G μν   を求める   ∇ γ R km , αβ  + ∇ α R km , β γ  + ∇ β R km , γ α  = 0   g mβ を掛ける g mβ (∇ γ R km , αβ  + ∇ α R km , β γ  + ∇ β R km , γ α ) = ∇ γ g mβ R km , αβ  + ∇ α g mβ R km , β γ  + ∇ β g mβ R km , γ α   = ∇ γ R k α  - ∇ α g mβ R km , γ β  - ∇ β g mβ R mk , γ α   = ∇ γ R k α  - ∇ α R kγ  - ∇ β R β k , γ α  = 0   g kα を掛ける g kα (∇ γ R k α  - ∇ α R kγ  - ∇ β R β k , γ α ) = ∇ γ g kα R k α  - ∇ α g kα R kγ  - ∇ β g kα R β k , γ α   = ∇ γ R - ∇ α R α γ  - ∇ β R β γ   = ∇ γ R - ∇ α R α γ  - ∇ α R α γ   = ∇ γ R - 2∇ α R α γ   = ∇ α δ α γ R - 2∇ α R α γ   = ∇ α (δ α γ R - 2R α γ )
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曲率テンソル (4回目)

2023/8/7(月) 曲率テンソル (4回目)   (Curvature tensor)   共変微分について     ■ 検討 ▼ 1回目より R n m , αβ  = -R n m , βα     ▼ 定義 x',A':デカルト座標系と定ベクトル x ,A :一般座標系と定ベクトル (∂/∂x β )A' k  = 0   ▼ 共変ベクトルの共変微分 ∇ β A α  = (∂/∂x β )A α   = (∂/∂x β )(∂x' k /∂x α )A' k   = (∂ 2 x' k /∂x β ∂x α )A' k  + (∂x' k /∂x α ){(∂/∂x β )A' k } = (∂ 2 x' k /∂x β ∂x α )A' k   = (∂ 2 x' k /∂x β ∂x α )(∂x i /∂x' k )A i     ∇ β A α  = (∂/∂x β )A α -(∂ 2 x' k /∂x β ∂x α )(∂x i /∂x' k )A i   = 0 と∇ β を定義する ここで Γ i αβ  = (∂ 2 x' k /∂x β ∂x α )(∂x i /∂x' k )と置くと ∇ β A α  = (∂/∂x β )A α  - Γ i αβ A i  = 0     ▼ 反変ベクトルの共変微分 ∇ β A α  = (∂/∂x β )A α   = (∂/∂x β )(∂x α /∂x' k )A' k   = (∂ 2 x α /∂x β ∂x' k )A' k  + (∂x α /∂x' k ){(∂/∂x β )A' k } = (∂ 2 x α /∂x β ∂x' k )A' k   = (∂ 2 x α /∂x β ∂x' k )(∂x' k /∂x i )A i     (∂/∂x β ){(∂x α /∂x' k )(∂x' k /∂x i )} = {(∂/∂x β )(∂x α /∂x' k )}(∂x' k /∂x i ) + (∂x α /∂x' k
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