ULprojectのホームページ © ULproject

2024/ 8 / 30 ( 金 ) N88-BASICで 終端速度 ( 3 回目 )   (Terminal velocity)   速度に比例する空気抵抗のある 自由落下   ■ 前提 ▼ 参照 https://ulprojectmail.blogspot.com/2024/08/terminal-3.html 終端速度 ( 3 回目 ) より   ▼ 定義 g:重力加速度(m/s 2 ) v 0 :初速度(m/s) v:速度(m/s) k:空気抵抗の比例定数(N･s/m)   … 1m/s 毎の力 ( N) m:質量(kg) F:力(N) a:加速度(m/s 2 ) y :位置(m)   ▼ 加速度 a (t) =   λ v ∞ e xp ( -λt ) a(0) = λ v ∞  =   g a(t) = 0  (t →∞ )   ▼ 速度 v(t) =  v ∞ {1 - exp ( -λt )} v(0) =   0   v( t ) =  v ∞   (t →∞ )   ▼ 位置 y (t) =   - v ∞ (1/ λ) {1 - e xp ( -λt )}  + v ∞ t y (0) = 0 y (t) =   - v ∞ (1/ λ) + v ∞ t  (t →∞ )     ■ 解説 下向きを正として (グラフも下向きが正とする) 空気抵抗 -kvがある場合とない場合の 自由落下の 加速度 a、速度v、位置yの時間t変化を 描画しました     VL,NL,XL-BASICとdlg～.zip(term003.bas)は このブログ (以下のリンク)から ダウンロードできます https://ulprojectmail.blogspot.com Readme.txtを読んで遊んで下さい  

2024/ 8 / 27 ( 火 ) 終端速度 (3回目)   (Terminal velocity)   速度に比例する空気抵抗のある 自由落下   ■ 導出 ▼ 定義 g:重力加速度(m/s 2 ) v:速度(m/s) k:空気抵抗の比例定数(N･s/m)   … 1m/s 毎の力 ( N) m:質量(kg) F:力(N) a:加速度(m/s 2 ) y :位置(m) v ∞ :終端速度(m/s)   ▼ 式 https://ulprojectmail.blogspot.com/2024/08/terminal-2.html 終端速度 ( 2 回目 ) より   v ∞  = mg/k ,   λ  = k/m a (t) =  -( v 0   -   v ∞ ) λ e xp ( -λt ) v(t) =   v 0 exp ( -λt )  + v ∞ {1 - exp ( -λt )} y (t) =  ( v 0   -   v ∞ )(1/ λ) {1 - e xp ( -λt )}  + v ∞ t   v 0   = 0 を代入   v ∞  = mg/k ,   λ  = k/m a (t) =  v ∞ λ e xp ( -λt ) v(t) =  v ∞ {1 - exp ( -λt )} y (t) =  -v ∞ (1/ λ) {1 - e xp ( -λt )}  + v ∞ t     ■ 結果 ▼ 定数 v ∞  = mg/k ,   λ  = k/m   ▼ 加速度 a (t) =   λ v ∞ e xp ( -λt ) a(0) = λ v ∞  =   g a(t) = 0  (t →∞ )   ▼ 速度 v(t) =  v ∞ {1 - exp ( -λt )} v(0) =   0   v( t ) =  v ∞   (t →∞ )   ▼ 位置 y (t) =   - v ∞ (1/ λ) {1 - e xp ( -λt )}  + v ∞ t y (0) = 0 y (t) =   - v ∞ (1/ λ) + v ∞ t  (t →∞ )  

2024/ 8 / 24 ( 土 ) N88-BASICで 終端速度 ( 2 回目 )   (Terminal velocity)   速度に比例する空気抵抗のある投げ 下げ   ■ 前提 ▼ 参照 https://ulprojectmail.blogspot.com/2024/08/terminal-2.html 終端速度 ( 2 回目 ) より   ▼ 定義 g:重力加速度(m/s 2 ) v 0 :初速度(m/s) v:速度(m/s) k:空気抵抗の比例定数(N･s/m)   … 1m/s 毎の力 ( N) m:質量(kg) F:力(N) a:加速度(m/s 2 ) y :位置(m)   ▼ 定数 v ∞  = mg/k ,   λ  = k/m   ▼ 加速度 a (t) =  -( v 0   -   v ∞ ) λ e xp ( -λt ) a(0) = -( v 0   -   v ∞ ) λ =  - (k/m)v 0   +   g a(t) = 0  (t →∞ )   ▼ 速度 v(t) =   v 0 exp ( -λt )  + v ∞ {1 - exp ( -λt )} v(0) =   v 0   v( t ) =  v ∞   (t →∞ )   ▼ 位置 y (t) =  ( v 0   -   v ∞ )(1/ λ) {1 - e xp ( -λt )}  + v ∞ t y (0) = 0 y (t) =  ( v 0   -   v ∞ )(1/ λ) + v ∞ t  (t →∞ )     ■ 解説 下向きを正として (グラフも下向きが正とする) 空気抵抗 -kvがある場合とない場合の 投げ 下げの 加速度 a、速度v、位置yの時間t変化を 描画しました     VL,NL,XL-BASICとdlg～.zip(term002.bas)は このブログ (以下のリンク)から ダウンロードできます https://ulprojectmail.blogspot.com Readme.txtを読んで遊んで下さい

2024/6/ 21 (水 ) 終端速度 ( 2 回目 )   (Terminal velocity)   速度に比例する空気抵抗のある投げ 下げ   ■ 導出 ▼ 定義 g:重力加速度(m/s 2 ) v 0 :初速度(m/s) v:速度(m/s) k:空気抵抗の比例定数(N･s/m)   … 1m/s 毎の力 ( N) m:質量(kg) F:力(N) a:加速度(m/s 2 ) y :位置(m)   ▼ 式 https://ulprojectmail.blogspot.com/2024/08/n88-basicterminal-1.html 終端速度 ( 1 回目 ) より   v ∞  = -mg/k ,   λ  = k/m a (t) =  -( v 0   -   v ∞ ) λ e xp ( -λt ) v(t) =   v 0 exp ( -λt )  + v ∞ {1 - exp ( -λt )} y (t) =  y 0  + ( v 0   -   v ∞ )(1/ λ) {1 - e xp ( -λt )}  + v ∞ t   下 向きを正とする ので g → -g, y 0   →  0 に置き換える   v ∞  = mg/k ,   λ  = k/m a (t) =  -( v 0   -   v ∞ ) λ e xp ( -λt ) v(t) =   v 0 exp ( -λt )  + v ∞ {1 - exp ( -λt )} y (t) =  ( v 0   -   v ∞ )(1/ λ) {1 - e xp ( -λt )}  + v ∞ t     ■ 結果 ▼ 定数 v ∞  = mg/k ,   λ  = k/m   ▼ 加速度 a (t) =  -( v 0   -   v ∞ ) λ e xp ( -λt ) a(0) = -( v 0   -   v ∞ ) λ =  - (k/m)v 0   +   g a(t) = 0  (t →∞ )   ▼ 速度 v(t) =   v 0 exp ( -λt )  + v ∞ {1 - exp ( -λt )} v(0) =   v 0   v( t ) =  v ∞   (t →∞ )   ▼ 位置 y (t) =  ( v 0   -   v ∞ )(1/ λ)

2024/6/ 16 (金 ) N88-BASICで 終端速度 ( 1 回目 )   (Terminal velocity)   速度に比例する空気抵抗のある投げ上げ   ■ 前提 ▼ 参照 https://ulprojectmail.blogspot.com/2024/08/terminal-1.html 終端速度 ( 1 回目 ) より   ▼ 定義 g:重力加速度(m/s 2 ) v 0 :初速度(m/s) v:速度(m/s) k:空気抵抗の比例定数(N･s/m)   … 1m/s 毎の力 ( N) m:質量(kg) F:力(N) a:加速度(m/s 2 ) y :位置(m) y 0 :初期位置(m) v ∞ :終端速度(m/s)   ▼ 定数 v ∞  = -mg/k ,   λ  = k/m   ▼ 加速度 a (t) =  -( v 0   -   v ∞ ) λ e xp ( -λt ) a(0) = -( v 0   -   v ∞ ) λ =  - (k/m)v 0   - g a(t) = 0  (t →∞ )   ▼ 速度 v(t) =   v 0 exp ( -λt )  + v ∞ {1 - exp ( -λt )} v(0) =   v 0   v( t ) =  v ∞   (t →∞ )   ▼ 位置 y (t) =  y 0  + ( v 0   -   v ∞ )(1/ λ) {1 - e xp ( -λt )}  + v ∞ t y (0) = y 0   y (t) =  y 0  + ( v 0   -   v ∞ )(1/ λ) + v ∞ t  (t →∞ )   ■ 解説 上向きを正として 空気抵抗 -kvがある場合とない場合の 投げ上げ の 加速度 a、速度v、位置yの時間t変化を 描画しました     VL,NL,XL-BASICとdlg～.zip(term001.bas)は このブログ (以下のリンク)から ダウンロードできます https://ulprojectmail.blogspot.com Readme.txtを読んで遊んで下さい  

2024/ 8 / 12 ( 月 ) 終端速度 ( 1 回目 )   (Terminal velocity)   速度に比例する空気抵抗のある投げ上げ   ■ 導出 ▼ 定義 g:重力加速度(m/s 2 ) v 0 :初速度(m/s) v:速度(m/s) k:空気抵抗の比例定数(N･s/m)   … 1m/s 毎の力 ( N) m:質量(kg) F:力(N) a:加速度(m/s 2 ) y :位置(m) y 0 :初期位置(m) v ∞ :終端速度(m/s)   ▼ 微分方程式 上向きを正とする F = ma = -mg - kv a = -g - (k/m)v = -(k/m)(v + mg/k)   ▼ 終端速度 a  = 0 の時が終端速度なので a = -(k/m)(v ∞  + mg/k) = 0 v ∞  + mg/k = 0   v ∞  = -mg/k   …   終端速度 λ  = k/m と置くと a = - λ (v - v ∞ )   ▼ 微分方程式を解く v ∞  = -mg/k ,   λ  = k/m dv/dt = a = - λ (v - v ∞ )   …   ① v(t) = Aexp ( -λt )  + Bv ∞   … ② と置く   ②式を①式に代入 dv/dt = -λ ( Aexp ( -λt )   +   Bv ∞  - v ∞ )  … ①'   ②を微分する dv/dt = -λAexp ( -λt )   … ②' ①' = ②'より -λ ( Aexp ( -λt )   +   Bv ∞  - v ∞ )   = -λAexp ( -λt ) -λ (Bv ∞  - v ∞ )   = 0 ,  Bv ∞   =   v ∞   , B = 1 を ②式に代入 v(t) = Aexp ( -λt )  + v ∞   … ③   ここで v(0) = A +   v ∞  = v 0     …   v(0) = v 0   と置く A = v 0   -   v ∞   と ③式より v(t) = ( v 0   -   v ∞ ) exp ( -λt )  + v ∞   =   v 0 exp ( -λt )  + v ∞ {1 - exp ( -λt )}