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N88-BASICで終端速度 (3回目)

2024/ 8 / 30 ( 金 ) N88-BASICで終端速度 ( 3 回目 ) (Terminal velocity) 速度に比例する空気抵抗のある自由落下 ■ 前提 ▼ 参照 https://ulprojectmail.blogspot.com/2024/08/terminal-3.html 終端速度 ( 3 回目 ) より ▼ 定義 g:重力加速度(m/s 2 ) v 0 :初速度(m/s) v:速度(m/s) k:空気抵抗の比例定数(N･s/m) … 1m/s 毎の力 ( N) m:質量(kg) F:力(N) a:加速度(m/s 2 ) y :位置(m) ▼ 加速度 a (t) = λ v ∞ e xp ( -λt ) a(0) = λ v ∞ = g a(t) = 0 (t →∞ ) ▼ 速度 v(t) = v ∞ {1 - exp ( -λt )} v(0) = 0 v( t ) = v ∞ (t →∞ ) ▼ 位置 y (t) = - v ∞ (1/ λ) {1 - e xp ( -λt )} + v ∞ t y (0) = 0 y (t) = - v ∞ (1/ λ) + v ∞ t (t →∞ ) ■ 解説下向きを正として (グラフも下向きが正とする) 空気抵抗 -kvがある場合とない場合の自由落下の加速度 a、速度v、位置yの時間t変化を描画しました VL,NL,XL-BASICとdlg～.zip(term003.bas)はこのブログ (以下のリンク)からダウンロードできます https://ulprojectmail.blogspot.com Readme.txtを読んで遊んで下さい

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終端速度 (3回目)

2024/ 8 / 27 ( 火 ) 終端速度 (3回目) (Terminal velocity) 速度に比例する空気抵抗のある自由落下 ■ 導出 ▼ 定義 g:重力加速度(m/s 2 ) v:速度(m/s) k:空気抵抗の比例定数(N･s/m) … 1m/s 毎の力 ( N) m:質量(kg) F:力(N) a:加速度(m/s 2 ) y :位置(m) v ∞ :終端速度(m/s) ▼ 式 https://ulprojectmail.blogspot.com/2024/08/terminal-2.html 終端速度 ( 2 回目 ) より v ∞ = mg/k , λ = k/m a (t) = -( v 0 - v ∞ ) λ e xp ( -λt ) v(t) = v 0 exp ( -λt ) + v ∞ {1 - exp ( -λt )} y (t) = ( v 0 - v ∞ )(1/ λ) {1 - e xp ( -λt )} + v ∞ t v 0 = 0 を代入 v ∞ = mg/k , λ = k/m a (t) = v ∞ λ e xp ( -λt ) v(t) = v ∞ {1 - exp ( -λt )} y (t) = -v ∞ (1/ λ) {1 - e xp ( -λt )} + v ∞ t ■ 結果 ▼ 定数 v ∞ = mg/k , λ = k/m ▼ 加速度 a (t) = λ v ∞ e xp ( -λt ) a(0) = λ v ∞ = g a(t) = 0 (t →∞ ) ▼ 速度 v(t) = v ∞ {1 - exp ( -λt )} v(0) = 0 v( t ) = ...

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N88-BASICで終端速度 (2回目)

2024/ 8 / 24 ( 土 ) N88-BASICで終端速度 ( 2 回目 ) (Terminal velocity) 速度に比例する空気抵抗のある投げ下げ ■ 前提 ▼ 参照 https://ulprojectmail.blogspot.com/2024/08/terminal-2.html 終端速度 ( 2 回目 ) より ▼ 定義 g:重力加速度(m/s 2 ) v 0 :初速度(m/s) v:速度(m/s) k:空気抵抗の比例定数(N･s/m) … 1m/s 毎の力 ( N) m:質量(kg) F:力(N) a:加速度(m/s 2 ) y :位置(m) ▼ 定数 v ∞ = mg/k , λ = k/m ▼ 加速度 a (t) = -( v 0 - v ∞ ) λ e xp ( -λt ) a(0) = -( v 0 - v ∞ ) λ = - (k/m)v 0 + g a(t) = 0 (t →∞ ) ▼ 速度 v(t) = v 0 exp ( -λt ) + v ∞ {1 - exp ( -λt )} v(0) = v 0 v( t ) = v ∞ (t →∞ ) ▼ 位置 y (t) = ( v 0 - v ∞ )(1/ λ) {1 - e xp ( -λt )} + v ∞ t y (0) = 0 y (t) = ( v 0 - v ∞ )(1/ λ) + v ∞ t (t →∞ ) ■ 解説下向きを正として (グラフも下向きが正とする) 空気抵抗 -kvがある場合とない場合の投げ下げの加速度 a、速度v、位置yの時間t変化を描画しました VL,NL,XL-BASICとdlg～.zip(term002.b...

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終端速度 (2回目)

2024/6/ 21 (水 ) 終端速度 ( 2 回目 ) (Terminal velocity) 速度に比例する空気抵抗のある投げ下げ ■ 導出 ▼ 定義 g:重力加速度(m/s 2 ) v 0 :初速度(m/s) v:速度(m/s) k:空気抵抗の比例定数(N･s/m) … 1m/s 毎の力 ( N) m:質量(kg) F:力(N) a:加速度(m/s 2 ) y :位置(m) ▼ 式 https://ulprojectmail.blogspot.com/2024/08/n88-basicterminal-1.html 終端速度 ( 1 回目 ) より v ∞ = -mg/k , λ = k/m a (t) = -( v 0 - v ∞ ) λ e xp ( -λt ) v(t) = v 0 exp ( -λt ) + v ∞ {1 - exp ( -λt )} y (t) = y 0 + ( v 0 - v ∞ )(1/ λ) {1 - e xp ( -λt )} + v ∞ t 下向きを正とするので g → -g, y 0 → 0 に置き換える v ∞ = mg/k , λ = k/m a (t) = -( v 0 - v ∞ ) λ e xp ( -λt ) v(t) = v 0 exp ( -λt ) + v ∞ {1 - exp ( -λt )} y (t) = ( v 0 - v ∞ )(1/ λ) {1 - e xp ( -λt )} + v ∞ t ■ 結果 ▼ 定数 v ∞ = mg/k , λ = k/m ▼ 加速度 a (t) = -( v 0 - v ∞ ) ...

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N88-BASICで終端速度 (1回目)

2024/6/ 16 (金 ) N88-BASICで終端速度 ( 1 回目 ) (Terminal velocity) 速度に比例する空気抵抗のある投げ上げ ■ 前提 ▼ 参照 https://ulprojectmail.blogspot.com/2024/08/terminal-1.html 終端速度 ( 1 回目 ) より ▼ 定義 g:重力加速度(m/s 2 ) v 0 :初速度(m/s) v:速度(m/s) k:空気抵抗の比例定数(N･s/m) … 1m/s 毎の力 ( N) m:質量(kg) F:力(N) a:加速度(m/s 2 ) y :位置(m) y 0 :初期位置(m) v ∞ :終端速度(m/s) ▼ 定数 v ∞ = -mg/k , λ = k/m ▼ 加速度 a (t) = -( v 0 - v ∞ ) λ e xp ( -λt ) a(0) = -( v 0 - v ∞ ) λ = - (k/m)v 0 - g a(t) = 0 (t →∞ ) ▼ 速度 v(t) = v 0 exp ( -λt ) + v ∞ {1 - exp ( -λt )} v(0) = v 0 v( t ) = v ∞ (t →∞ ) ▼ 位置 y (t) = y 0 + ( v 0 - v ∞ )(1/ λ) {1 - e xp ( -λt )} + v ∞ t y (0) = y 0 y (t) = y 0 + ( v 0 - v ∞ )(1/ λ) + v ∞ t (t →∞ ) ■ 解説上向きを正として空気抵抗 -kvがある場合とない場合の投げ上げの加速度 a、速度v、位置yの時間t変化を描画しました VL,N...

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終端速度 (1回目)

2024/ 8 / 12 ( 月 ) 終端速度 ( 1 回目 ) (Terminal velocity) 速度に比例する空気抵抗のある投げ上げ ■ 導出 ▼ 定義 g:重力加速度(m/s 2 ) v 0 :初速度(m/s) v:速度(m/s) k:空気抵抗の比例定数(N･s/m) … 1m/s 毎の力 ( N) m:質量(kg) F:力(N) a:加速度(m/s 2 ) y :位置(m) y 0 :初期位置(m) v ∞ :終端速度(m/s) ▼ 微分方程式上向きを正とする F = ma = -mg - kv a = -g - (k/m)v = -(k/m)(v + mg/k) ▼ 終端速度 a = 0 の時が終端速度なので a = -(k/m)(v ∞ + mg/k) = 0 v ∞ + mg/k = 0 v ∞ = -mg/k … 終端速度 λ = k/m と置くと a = - λ (v - v ∞ ) ▼ 微分方程式を解く v ∞ = -mg/k , λ = k/m dv/dt = a = - λ (v - v ∞ ) … ① v(t) = Aexp ( -λt ) + Bv ∞ … ② と置く ②式を①式に代入 dv/dt = -λ ( Aexp ( -λt ) + Bv ∞ - v ∞ ) … ①' ②を微分する dv/dt = -λAexp ( -λt ) … ②' ①' = ②'より -λ ( Aexp ( -λt ) + Bv ∞ - v ∞ ) = -λAexp ( -λt ) -λ (Bv ∞ - v ∞ ) = 0 , Bv ∞ = v ∞ , B = 1 を ②式に代入 v(t) = Aexp ( -λt ) ...

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