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2023/7/17(月) 相対性理論 (5回目)   一般相対性理論 (General relativity theory)   測地線の方程式の導出   ■ 導出 ▼ 測地線の方程式 x' α :局所慣性系座標 x α :一般慣性系座標   F α  = d 2 x' α /dτ 2   力F α  = 0なら d 2 x' α /dτ 2  = 0 dx' α /dτ = const. (一定) より dx' α /dτ = x' α /τ = const.   x' α  = (∂x' α /∂x' β )x' β  … 反変変換 x' α /τ = (∂x' α /∂x' β )(x' β /τ)   d 2 x' α /dτ 2  = (d/dτ)(x' α /τ) = 0 = (d/dτ){(∂x' α /∂x' β )(x' β /τ)} = {(d/dτ)(∂x' α /∂x' β )}(x' β /τ) + (∂x' α /∂x' β ){(d/dτ)(x' β /τ)} = {(d/dτ)(∂X' α /∂X' β )}(X' β /τ) = {(∂/∂x' β )(dx' α /dτ)}(dx' β /dτ) … 局所慣性系x' α のすべてが微分表記に なっているため一般座標系X α に置き換えても 問題ない {(∂/∂x' β )(dx' α /dτ)}(dx' β /dτ) = {(∂/∂x β )(dx α /dτ)}(dx β /dτ) = 0   ∇ β V  = (∂/∂x β ) V  = {(∂/∂x β )V α  + V γ Γ α γβ } e α     導出は https://ulprojectmail.blogspot.com/2023/07/christoffel-1.html クリストッフェル記号 (1回目) より ∇ β V α  = (∂/∂x β )V α  = (∂/∂x β )V α  + V γ Γ α γβ     {(∂

2023/7/16(日) 相対性理論 (4回目)   (Relativity theory) アインシュタインの縮約について   ■ 縮約について ▼ 直交座標系の計量(metric) η αβ  = diag(-1,1,1,1) = |-1 0 0 0 | | 0 1 0 0 | | 0 0 1 0 | | 0 0 0 1 | つまり η 00  = -1、η 11  = η 22  = η 33  = 1 以外0です   ベクトルは太字で表しています 添字(suffix)は上付きと下付きがあり乗数ではない   e α :基底ベクトル(共変ベクトルなので下付き) x α :通常ベクトル(反変ベクトルなので上付き)   ベクトル x  = (x 0 ,x 1 ,x 2 ,x 3 ) ベクトル x  = x α e α  と書ける この場合 x α e α  = Σ[α=0,1,2,3]x α e α  という意味になり = x 0 e 0 +x 1 e 1 +x 2 e 2 +x 3 e 3  となる (Σを省略する事をアインシュタインの縮約という)   3次元空間ならベクトルd x の微小長さdsは ds 2  = d x ･d x  = (dx 1 ) 2 +(dx 2 ) 2 +(dx 3 ) 2   は ds 2  = (dx 1 ) 2 +(dx 2 ) 2 +(dx 3 ) 2  = dx α dx α   と書ける   相対性理論 (1回目)より 時間軸の2乗は負になる為 4次元時空間なら ds 2  = d x ･d x  = -(dx 0 ) 2 +(dx 1 ) 2 +(dx 2 ) 2 +(dx 3 ) 2   s 2  = η αβ dx α dx β  = η αα dx α dx α   η αβ  の中身が対角成分しかない場合 η αα  で代用できる (上付きと下付きは打消し合う)   ▼ 一般座標系の計量(metric) https://ulprojectmail.blogspot.com/2023/07/polar-4.html 極座標 (4回目)   極座標系など基底ベクトルの 長さが1(単位ベクトル)ではない場合 計量テンソルを使って g αβ  = diag(1, 1/r 2 , 1/(r 2 sin 2 θ))   |1

2023/7/5(水) 相対性理論 (3回目)   (Relativity theory)   反変ベクトルと共変ベクトル 共変変換と反変変換について   ここでは太字をベクトルとする   ■ 座標変換 ▼ 基底ベクトル 基底ベクトル e 1 , e 2 , e 3  を e ' 1 , e ' 2 , e ' 3  に変換を | e ' 1 |=|α 1 1  α 1 2  α 1 3 || e 1 | | e ' 2 | |α 2 1  α 2 2  α 2 3 || e 2 | | e ' 3 | |α 3 1  α 3 2  α 3 3 || e 3 | とする e ' 1  = α 1 1 e 1  + α 1 2 e 2  + α 1 3 e 3  = Σα 1 k e k  [k=1,2,3] = α 1 k e k  … アインシュタインの縮約   e ' i = α i' k e k  、 e k  = α k j ' e ' j   α i' k α k j'  = δ i' j'  … クロネッカーのデルタ δ i j  = (1 if i＝j, 0 if i≠j)   ▼ 反変ベクトル 反変ベクトル X 1 ,X 2 , X 3  を X' 1 ,X' 2 , X ' 3  に変換を |X' 1 |=|β 1 1  β 1 2  β 1 3 ||X 1 | |X' 2 | |β 2 1  β 2 2  β 2 3 ||X 2 | |X' 3 | |β 3 1  β 3 2  β 3 3 ||X 3 | とする X' 1  = β 1 1 X 1  + β 1 2 X 2  + β 1 3 X 3  = Σβ 1 k X k  [k=1,2,3] = β 1 k X k  … アインシュタインの縮約   X' i  = β i' k X k  、X k  = β k j ' X' j   β i' k β k j'  = δ i' j'  … クロネッカーのデルタ δ i j  = (1 if i＝j, 0

2023/5/19(金) N88-BASICで相対性理論   (特殊相対性理論:Special relativity theory)   E = mc 2   を使った計算です     ■ 関連記事の紹介 t = t'/√{1-(v/c) 2 }の 導出は https://ulprojectmail.blogspot.com/2023/05/relativity-1.html 相対性理論 (1回目)   N88-BASICサンプルは https://ulprojectmail.blogspot.com/2021/12/n88-basictwins.html N88-BASICで双子のパラドックス   E = mc 2  の導出は https://ulprojectmail.blogspot.com/2023/05/relativity-2.html 相対性理論 (2回目)     ■ E = mc 2  を使ったサンプル   プールの水量は約 25×16×1.3 = 520 ≒ 500m 3  → 500t とすると、そのエネルギーEは 約4.5×10 22  Jで地球の全大気を 約8.5℃上昇させる   などの計算をしています   自己責任で使用して下さい   VL,NL,XL-BASICと blg～.zip (rela001.bas)は 以下のリンクからダウンロードできます https://ulprojectmail.blogspot.com Readme.txtを読んで遊んで下さい

2023/5/17(水) 相対性理論 (2回目)   (特殊相対性理論:Special relativity theory)   2回目は E = mc 2   の導出     ■ 微小不変量dτ 微小不変量 固有時間 dτ(cdt>>dx,dy,dzなのでほぼ微小時間)を 前回の微小不変量 dsを使用して dτ 2  = -ds 2  = (cdt) 2  - dx 2  - dy 2  - dz 2   と定義する     ■ 4元変位 d x  = (dx 0 , dx 1 , dx 2 , dx 3 ) = (cdt, dx, dy, dz)   ■ 4元速度 4元速度を u  = (u 0 , u 1 , u 2 , u 3 ) = d x /dτ = (cdt/dτ,dx/dτ,dy/dτ,dz/dτ) と定義する   dτ 2  = (cdt) 2  - dx 2  - dy 2  - dz 2   を dτ 2 で割る 1 = (cdt/dτ) 2 -(dx/dτ) 2 -(dy/dτ) 2 -(dz/dτ) 2   より 1 = u 0 2  - u 1 2  - u 2 2  - u 3 2     dτ 2  = (cdt) 2  - dx 2  - dy 2  - dz 2   を (cdt) 2 で割る (dτ / cdt) 2  = 1-(dx / cdt) 2 -(dy / cdt) 2 -(dz / cdt) 2   = 1 - (1/c 2 ){(dx/dt) 2  + (dy/dt) 2  + (dz/dt) 2 } = 1 - (1/c 2 )(v x 2  + v y 2  + v z 2 ) = 1 - (v 2 /c 2 ) dτ / cdt = √{1 - (v/c) 2 } u 0  = cdt/dτ = 1/√{1 - (v/c) 2 } = γ … ローレンツ係数 u 1  = dx/dτ = (cdt/dτ)(dx / cdt) = γv x /c   よって u  = (u 0 , u 1 , u 2 , u 3 ) = (γ, γv x /c, γv y /c, γv z /c) … (v x /cはcに対する割合、0.5は光速の半分、無次元量) 1 = u 0 2  - u 1 2  - u