シュワルツシルト半径 (1回目)
2023/8/14(月) シュワルツシルト半径 (1回目) (Schwarzschild radius) 極座標の微小不変量dsを求める ■ 導出 ▼ 極座標の微小不変量ds https://ulprojectmail.blogspot.com/2023/07/polar-4.html 極座標 (4回目) より g αβ = diag(1, r 2 , r 2 sin 2 θ) dw = cdtとして ds 2 = -dw 2 + dx 2 + dy 2 + dz 2 を極座標で求めると 時間軸を追加して g αβ = diag(-1, 1, r 2 , r 2 sin 2 θ) dr α = dw, dr,dθ,dφ として ds 2 = g αβ dx α dx β = g αα dx α dx α = -dw 2 + dr 2 + r 2 dθ 2 + r 2 sin 2 θdφ 2 ■ 結果 ▼ 極座標の微小不変量 ds 2 = -dw 2 + dr 2 + r 2 dθ 2 + r 2 sin 2 θdφ 2 ■ 別解 ▼ 極座標の全微分 https://ulprojectmail.blogspot.com/2023/06/polar-1.html 極座標 (1回目) x = rsinθcosφ y = rsinθsinφ z = rcosθ x α = x,y,z、r β = r,θ,φ 全微分 dx α = (∂x α /∂r β )dr β dx = sinθcosφdr+rcosθcosφdθ-rsinθsinφdφ dy = sinθsinφdr+rcosθsinφdθ+rsinθcosφdφ dz = cosθdr-rsinθdθ (a + b + c) 2 = (a+b) 2 + 2(a+b)c + c 2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2(ab + bc + ca) dx 2 = (sinθcosφdr) 2 +(rcosθcosφdθ) 2 +(rsinθsinφdφ) 2 + 2(sinθcosφdr)(rcosθcosφdθ) - 2(rcosθcosφdθ)(rsinθsinφdφ) - 2(r
