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202 5 / 4 / 12 ( 土 ) 波の合成   ( 2 回目 )   うなり   ( beet wave)   ■   進行方向が同じ 2波の合成 ▼   2波の合成式 y 1   = Asina, a = 2πf 1 (x/v 1   - t) y 2   = Bsinb, b = 2πf 2 (x/v 2   - t) α=   (a+b)/2   , β=   ( a-b ) /2   , C = { (A-B) sinβ} / { (A+B) cosβ} D = √ { (A-B) 2   + 2 2 ABcos 2 β }    … 包絡線 (envelope) y 1   + y 2   = Asin a  + Bsin b = D sin ( α + Tan -1 C ) ▼ 2波の定義 v 1   = v 2   = vと置いて a = 2πf 1 (x/v - t) b = 2πf 2 (x/v - t) とすると   α=   (a+b)/2   = π{( f 1   + f 2 )(x/v - t)} β=   ( a-b ) /2   = π{( f 1   - f 2 )(x/v - t)}   ▼ 振幅が同じ場合 C = { (A- A ) sinβ} / { (A+ A ) cosβ} = 0 D = √ { (A-B) 2   + 2 2 ABcos 2 β }   = 2Acosβ Asin a  + A sin b = D sin{α + Tan -1 C }   = 2 Acosβsinα α=   (a+b)/2   = π{( f 1   + f 2 )(x/v - t)} β=   ( a-b ) /2   = π{( f 1   - f 2 )(x/v - t)}   ■   結果 ▼ 2波の定義...

202 5 / 4 /8 (火 ) 波の合成   ( 1 回目 )   ( wave)   ■   2波の合成 ▼ 振幅が同じ場合     sin(α+β) = sinαcosβ + cosαsinβ -) sin(α-β) = sinαcosβ - cosαsinβ     sin(α+β) + sin(α-β) = 2sinαcosβ    Asin(α+β) + Asin(α-β) = 2Asinαcosβ … ① a = α+β , b = α-β と置くと α = ( a+b )/2   , β = ( a-b )/2   を ①式に代 入 Asina + Asinb = 2Acos ( (a-b) /2) sin( ( a+b) /2) 包絡線 2Acos ( (a-b) /2)   ▼ 振動数が同じ場合 底辺 X、高さY、斜辺R、角θ ( XR間 ) の 直角三角形 θ = Tan -1 (Y/X)   , R = √(X 2 +Y 2 )   , X = Rcosθ   , Y = Rsinθ  Rcosθsina   +   Rsinθcosa = Rsin(a+θ)   加法定理 に代入 Xsina + Ycosa = Rsin(a+θ) Xsina + Ycosa   = √(X 2 +Y 2 )sin{a + Tan -1 (Y/X)}   ▼ 振幅 も 振動数 も 異なる 場合 を含む Asin(α+β) = Asinαcosβ+Acosαsinβ   加法定理 Bsin(α-β) = Bsinαcosβ-Bcosαsinβ   加法定理 を加えて X=(A+B)cosβ、Y= ( A-B ) sinβと置くと Asin(α+β) + Bsin(α-β)   =   (A+B)sinαcosβ+(A-B)cosαsinβ = Xsinα + Ycosα   = √(X 2 +Y 2 )sin{α + Tan -1 (Y/X)} X 2 +Y 2  ...

2025/3/31(月) 四平方の定理 (2回目)   (De Gua's theorem)   ■ 任意の形の四平方の定理(デカルト・グアの定理、ド・グアの定理) A 2   + B 2   + C 2   = D 2   この式は任意の形の DをA,B,C面に投影しても成り立つ   図の三角錐の面の直角三角形の面積をそれぞれ A,B,C、 手前の面の三角形の面積を Dとする (x, y, zは座標軸とする)   ■ 任意の形の四平方の定理の導出 A,B,C,Dの法線ベクトル(単位ベクトル)をそれぞれ a,b,c,dとするとa,b,cは a = (1, 0, 0), b = (0, 1, 0), c = (0, 0, 1) となり dは d = (x, y, z)  … (x 2   + y 2   + x 2   = d･d = |d| 2   = 1) と置く   x軸の真上からDを見てAの面に投影すると 直角三角形 Aに見えるので A = D(a･d)となる … (a･dは内積でa//dなら1, a⊥dなら0) B,Cも同様にy軸,z軸の真上から見てDを投影すると B = D(b･d) C = D(c･d) (a･d) = (1, 0, 0)･(x, y, z) = 1･x + 0･y + 0･z = x (b･d) = (0, 1, 0)･(x, y, z) = 0･x + 1･y + 0･z = y (c･d) = (0, 0, 1)･(x, y, z) = 0･x + 0･y + 1･z = z より A = Dx, B = Dy, C = Dx A 2   + B 2   + C 2   = D 2 x 2   + D 2 y 2   + D 2 x 2   = D 2 (x 2   + y 2   + x 2 ) = D 2    … (上記よりx 2   + y 2   + x 2   = 1)   A 2   + B 2   + C 2  ...

2025/3/28(金) 四平方の定理 (1回目)   (De Gua's theorem)   ■ 四平方の定理(デカルト・グアの定理、ド・グアの定理) A 2   + B 2   + C 2   = D 2   A = ab/2  … △abdの面積 B = bc/2  … △bceの面積 C = ca/2  … △cafの面積 D         … △defの面積 とする   ■ 四平方の定理の導出 d 2   = a 2   + b 2   e 2   = b 2   + c 2   f 2   = c 2   + a 2   θ=∠de  … 二辺間の角度とする 余弦定理より f 2   = d 2   + e 2   - 2decosθ cosθ = (d 2   + e 2   - f 2 )/(2de) sinθ = √{1 - (d 2   + e 2   - f 2 ) 2 /(2de) 2 } = √{(2de) 2   - (d 2   + e 2   - f 2 ) 2 }/(2de)   D = (1/2)desinθ = (1/2)de√{(2de) 2   - (d 2   + e 2   - f 2 ) 2 }/(2de) = √{(2de) 2   - (d 2   + e 2   - f 2 ) 2 }/4   d 2   + e 2   - f 2   = a 2   + b 2   + b 2   + c 2   - c 2   - a 2   = 2b 2   d 2 e 2   = (a 2   + b 2 )(b 2   + c 2 ) ...