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VL-BASICで結晶格子 (2回目)

2021/8/4(水) VL-BASICで結晶格子 (2回目) 体心立方格子 r:原子半径、a:単位格子の一辺の長さ上は、体心立方格子を上から正方形の対角線上を切った断面を横から見た図です上記正方形の図より、三平方の定理を使用して (a√2) 2 + a 2 = (4r) 2 を変形して (4r) 2 = 3a 2 、 4r = a√3 r = {(√3)/4}a または、 a = r/{(√3)/4} = 4r/√3 = {(4√3)/3}r 余談同じ原子半径のときの単位格子の大きさの比較面心の単位格子の大きさを bとすると r = {(√2)/4}b a = {(4√3)/3}r = {(4√3)/3}{(√2)/4}b 　 = {(√6)/3}b ≒ 0.8165b c = a/2、(a = {(4√3)/3}r)とし、(0,0,0)を単位格子の中心とすると ( 0, 0, 0) (-c,-c,-c), (c,-c,-c), (-c, c,-c), ( c, c,-c) (-c,-c, c), (c,-c, c), (-c, c, c), ( c, c, c) を中心とする半径 rの9個の球を単位格子でカットして表示しています充填率を求めて見ました半径 rの球の体積Vは V = 4πr 3 /3 単位格子中の原子数 n 原子半径 r 単位格子の体積 v 充填率 p(%)とすると p = 単位格子中の原子の体積/v × 100(%) p = 100n(4πr 3 /3) / v a:単位格子の辺長体心立方格子 n = 2, a = (4r√3)/3 v = a 3 = {(4r√3)/3} 3 = 4 3 r 3 √3/3 2 p = 100n(4πr 3 /3) / v = 100･2(4πr 3 /3) / (4 3 r 3 √3/3) = 25π / (2√3) = (25π√3)/2 ? 25*3.141592653589793*sqr(3)/2 68.01747615878317 VL-BASICとblg～.zip(cris002.bas)は以下のリンクからダウンロードできます V L-BASIC(N88-BASIC互換?)ホームページ Read

VL-BASICで結晶格子 (1回目)

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2021/8/2(月) VL-BASICで結晶格子 (1回目) 面心立方格子 r:原子半径、a:単位格子の一辺の長さ上記正方形の図より、三平方の定理を使用して a 2 + a 2 = (4r) 2 を変形して (4r) 2 = 2a 2 、 4r = a√2 r = {(√2)/4}a または、 a 2 + a 2 = (4r) 2 を変形して 2a 2 = (4r) 2 、 a 2 = 8r 2 、 a = r 2 √8 a = (2√2)r c = a/2 = r√2 とし、 (0,0,0)を単位格子の中心とすると ( c, 0, 0), ( 0, c, 0), ( 0, 0, c) (-c, 0, 0), ( 0,-c, 0), ( 0, 0,-c) ( c, c, c), ( c,-c, c), (-c, c, c), (-c,-c, c) ( c, c,-c), ( c,-c,-c), (-c, c,-c), (-c,-c,-c) を中心とする半径 rの14個の球を単位格子でカットして表示しています充填率を求めて見ました半径 Rの球の体積Vを求める図　 z = rcosφ、d = rsinφ 点 P(r, θ, φ)、原点O(0, 0, 0)とする極座標は動径 (半径)方向をr z軸回りのx軸方向からの角度をθ z軸から線分OPまでの角度をφとする直交座標 P(x, y, z)との関係点 Pのx-y平面へ投影した点の原点からの距離を dとするとd = rcosφより x = dcosθ = rcosθsinφ y = dsinθ = rsinθsinφ P(x, y, z) = P(rcosθsinφ, rsinθsinφ, rcosφ) 中心から r離れた微小片の体積dvを考えると r方向の微小距離をdr φ(ラジアン)方向の微小角dφ分の距離は r･dφ(半径rの円弧長さ) θ(ラジアン)方向の微小角dθ分の距離は d･dθ = rsinφ･dθ(半径dの円弧長さ)となり dv = r 2 sinφ･drdθdφ V = ∫dv = ∫∫∫r 2 dsinφ･drdθdφ (r = 0～R, θ=0～2π, φ=0～π) = ∫∫[(r 3 /3)s

VL-BASICで3乗の展開の図(2回目)

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2021/7/24(土) VL-BASICで3乗の展開の図(2回目) 三項式の展開 (a + b + c) n = (a + b + c)(a + b + c)… 右辺のn個の(a + b + c)から aをp個、bをq個、cをr個選んだ項は a p b q c r (p + q + r = n)となり n個のaからp個のaを選び残りn-p個からq個のbを選ぶ組合せになっているので a p b q c r の係数は n C p n-p C q となり nCp = nPp/p! = n!/{(n-p)!p!}と p + q + r = n ⇒ n - p - q = r より n C p n-p C q = [n!/{(n-p)!p!}][(n-p)!/{(n-p-q)!q!}] = n!/(p!q!r!) となり、これは aがp個、bがq個、cがr個の順列(並べ方の数) になります (a + b + c) n = ΣΣ{n!/(p!q!r!)}a p b q c r (r = n - q - r) (q = 0～n-p内)(p = 0～n 外) (a + b + c) 3 = aaa + 3aab + 3aac + 3abb + 6abc + 3acc + bbb + 3bbc + 3bcc + ccc a > b > cとして図形を表示しました blg～.zip(cub002v.bas)は以下のリンクからダウンロードできます V L-BASIC(N88-BASIC互換?)ホームページ Readme.txtを読んで遊んで下さい

VL-BASICで3乗の展開の図 (1回目)

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2021/7/22(木) VL-BASICで 3乗の展開の図 (1回目) 二項式の展開 (a + b) n = (a + b)(a + b) … (a + b) 右辺の n個の(a + b)から aをn-i個、bをi個選んだ項はa n-i b i となり n個のbからi個のbを選ぶ (= n個のaからn-i個のaを選ぶ) 組み合わせは n C i 通りとなる i = 0～nまですべての場合の和が展開式となるので、二項定理 (a + b) n = Σ n C i a n-i b i (i = 0～n) を導ける例 (a + b) 3 = (a + b)(a + b)(a + b) 　　　　　１回目２回目３回目を展開した各項は、 a,bどちらかを 3回選んだ積になっており aaa, aab, aba, abb, baa, bab, bba, bbb aab (またはabaやbaaも同じ)つまり aが2回、bが1回の組合せは 3個中2個aを選ぶ、または、 3個中1個bを選ぶ、選び方と同じなので 3 C 2 = 3 C 1 = 3通り(上記図でも3通りと分かる) となる (aabの並べ方3!/(2!1!)に等しい) (abbも同じ) 同様に aaa(とbbb)は 3 C 3 = 3 C 0 = 1通りよって (a + b) 3 = Σ n C i a n-i b i (i = 0～3) = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 n = 0～を縦に、i = 0～nを横に n C i の値を並べたものをパスカルの三角形と言う n = 0 1 n = 1 1 1 n = 2 1 2 1 n = 3 1 3 3 1 n = 4 1 4 6 4 1 … 下記の通り、各数値は 1段上の左右の数値の和になっている (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 (a + b) 3 = (a 2 + 2ab + b 2 )(a + b) 　　　　　　 1 2 1 = a 3 + (a 2 )b + (2ab)a + (2ab)b + (b 2 )a + b 3 　 1 1 + 2