量子力学 (2回目)
2023/5/5(金) 量子力学 (2回目) (Quantum mechanics) 今回は時間に依存しない シュレディンガー方程式の導出です ■ 記号 y :変位(m) A :振幅(m) λ:波長(m)(m/回) f :波の振動数(Hz)(回/s) v :速度(m/s) [波の速度v = λf] k :角波数(rad/m) [k = 2π/λ] ω:各振動数(rad/s) [ω = 2πf] x :位置(m) t :時間(s) ν:物質波などの振動数(Hz) c :光速(m/s) x :位置ベクトル(m) m :質量(kg) E :エネルギー(J) p :運動量(kg･m/s) [p = mv] h :プランク定数(6.62607015×10 -34 J･s) ℏ :ディラック定数 [ℏ = h / (2π)] Ψ( x ,t):波動関数 V( x ,t):ポテンシャルエネルギー [またはV( x )] H:ハミルトニアン ∇:ナブラ [∇ = (∂/∂ x )] ■ シュレディンガー方程式の変数分離 iℏ(∂/∂t)Ψ(x,t) = [{-ℏ 2 /(2m)}(∂ 2 /∂x 2 ) + V(x,t)]Ψ(x,t) EΨ(x,t) = HΨ(x,t) Ψ(x,t) = φ(x)f(t)と置く E{φ(x)f(t)} = H{φ(x)f(t)} φ(x)Ef(t) = f(t)Hφ(x) … 定数項を出す {1/f(t)}Ef(t) = {1/φ(x)}Hφ(x) = Eと置く 左辺はxに依存せず、右辺はtに依存しないので Eは一定となる {1/φ(x)}H{φ(x)} = E = const.より Hφ(x) = Eφ(x) [{-ℏ 2 /(2m)}(∂ 2 /∂x 2 ) + V(x)]φ(x) = Eφ(x) 一方 {1/f(t)}Ef(t) = E iℏ(∂/∂t)f(t) = Ef(t) (∂/∂t)f(t) = (E/iℏ)f(t) (∂/∂t)f(t) = (-iE/ℏ)f(t) ■ まとめ 時間を含むシュレディンガー方程式 EΨ( x ,t) = HΨ( x ,t) iℏ(∂/∂t)Ψ( x ,t) = [{-ℏ 2 /(2m)}(∂ 2 /∂ x 2 ) + V( x ,t)]Ψ( x
