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N88-BASICで量子力学 (4回目)

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2023/7/14(金) N88-BASICで量子力学 (4回目) 式にミスがあり修正しました 2r/a →  2r/(na)   (Quantum mechanics)   水素原子の半径   水素原子モデルのシュレディンガー方程式 https://ulprojectmail.blogspot.com/2023/06/quantum-9.html 量子力学 (9回目) より   ■ 定数など E    :エネルギー(J) h    :プランク定数(6.62607015×10 -34 J･s) ℏ    :ディラック定数 [ℏ = h / (2π)] ε 0 :真空中の誘電率(F/m) {(F)=(C/V)} 　　= 8.8541878128×10 -12 (F/m) e    :電子の電荷(C) = 1.602176634×10 -19 C m e  :電子の質量(kg) = 9.1093837015×10 -31 kg k = 1/(4πε 0 ) … (N･m 2 /C 2 ) V(r) = -ke 2 /r … (or -kZe 2 /r):ポテンシャル   n:主量子数(n = 1,2,3,…)(K,L,M,N,…) ℓ:方位量子数(0 ≦ ℓ ≦ n-1)(s,p,d,f,g,…) (角運動量量子数) m:磁気量子数(m = 0,±1,±2,…)(|m| ≦ ℓ) (n,ℓ,m∈Z) s:スピン量子数(1/2[↑],-1/2[↓])   s軌道 (n, ℓ = 0, m = 0)     ■ s軌道 ▼ 原子量 水素 Z = 1   ▼ s軌道のエネルギー準位 E = -m e k 2 Z 2 e 4 /(2n 2 ℏ 2 )   ▼ s軌道の波動関数 Φ(φ) = 1/√(2π) Θ(θ) = √(1/2) a = ℏ 2 /(m e kZe 2 ) … (ボーア半径a 0 /Z)   Y(θ,φ) = 1/√(4π) R(r) = -C(2/a)exp{-r/(na)} {Σ[m=0～n-1](-1) m {(n!) 2 /{m!(m-1)!(n-m-1)!}}{2r/(na)} m }   ▼ s軌道の距離rの球面上の存在確率関数 a = ℏ 2 /(m e kZe 2 ) … (ボーア半径a 0 /Z) P(r) = C 2 (n!) 4 (2r
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クリストッフェル記号 (3回目)

2023/7/12(水) クリストッフェル記号 (3回目)   (Christoffel symbols)   ■ 定義 ▼ 表記 以後、ベクトルは太字で表し   ナブラ∇ = (∂/∂x 1 ,∂/∂x 2 ,∂/∂x 3 )を ∇ β  = (∂/∂x β )と書く事にする 反辺ベクトル V  = (V 1 ,V 2 ,V 3 ) = V 1 e 1  + V 2 e 2  + V 3 e 3   = Σ[α=1,2,3]V α e α  = V α e α   (基底ベクトル e α ) (上付きはべき乗ではなく添字です) (アインシュタインの縮約でΣ記号を省略)   ▼ 反変ベクトル V  の共変微分 β ∇ V   クリストッフェル記号Γ γ αβ  を使って Γ γ αβ e γ  = (∂/∂x β ) e α  = ∇ β e α  と置く   ∇ β V  = (∂/∂x β ) V   = (∂/∂x β )(V α e α ) = {(∂/∂x β )V α } e α  + V α {(∂/∂x β ) e α } = {(∂/∂x β )V α } e α  + V α Γ γ αβ e γ = {(∂/∂x β )V α } e α  + V γ Γ α γβ e α  … (添字の入替え) = {(∂/∂x β )V α  + V γ Γ α γβ } e α   つまり ∇ β V  = (∂/∂x β ) V  = (∂/∂x β )(V α e α ) = {(∂/∂x β )V α  + Γ α γβ V γ } e α     Γ γ αβ e γ の e γ のない定義を導出する   ■ 導出 ▼ クリストッフェルの第一種記号 g ij :X i 系での計量 g ( _ ) mn :X' i 系(デカルト座標系、通常のx,y,z座標)での計量 g ( _ ) mn  = δ mn  … (クロネッカーのデルタ) δ mn  = (1 if m＝n, 0 if m≠n)   g ij  = (∂X' m /∂X i )(∂X' n /∂X j ) g ( _ ) mn     (∂/∂X k )g ij  = (∂/∂X k ){(∂X' m /∂X i )(∂X' n /∂X j )
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クリストッフェル記号 (2回目)

2023/7/10(月) クリストッフェル記号 (2回目)   (Christoffel symbols)   発散div V 、勾配gradf、ラプラシアンΔ = ∇ 2  = ∇･∇ の極座標表記を求める   ■ 定義 ▼ 表記 以後、ベクトルは太字で表す ナブラ∇ = (∂/∂x 1 ,∂/∂x 2 ,∂/∂x 3 )を ∇ β  = (∂/∂x β )と書く事にする 反辺ベクトル V  = (V 1 ,V 2 ,V 3 ) = V 1 e 1  + V 2 e 2  + V 3 e 3   = Σ[α=1,2,3]V α e α  = V α e α   (基底ベクトル e α ) (上付きはべき乗ではなく添字です) (アインシュタインの縮約でΣ記号を省略)   ▼ 反変ベクトル V  の共変微分 β ∇ V   クリストッフェル記号Γ γ αβ  を使って Γ γ αβ e γ  = (∂/∂x β ) e α  = ∇ β e α  と置く   ■ 導出 ▼ 極座標系の発散div、勾配grad、ラプラシアンΔ 正規直交基底ベクトル e '(座標基底 e の単位ベクトル)           |1 0      0             | g αβ  = |0 1/r 2  0             |           |1 0      1/(r 2 sin 2 θ)| e ' α  = √(g αα ) e α     導出は https://ulprojectmail.blogspot.com/2023/07/polar-4.html 極座標 (4回目) より   √(g r r ) = 1、√(g θθ ) = 1/r、√(g φφ ) = 1/(rsinθ)、 V α e ' α  = V α √(g αα ) e α   ( e α は単位ベクトルではないので単位ベクトル e ' α に 変換しないと座標成分がおかしな値になるため)   Γ r γr V γ  = 0、Γ θ rθ V r  = (1/r)V r 、Γ φ rφ  = (1/r)V r   Γ φ θφ  = (cosθ/sinθ)V θ   (1/r 2 )(∂/∂r)(r 2 V r ) = (1/r 2 ){r 2 (∂V r /
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クリストッフェル記号 (1回目)

2023/7/9(日) クリストッフェル記号 (1回目)   (Christoffel symbols)   クリストッフェル記号Γ γ αβ の 極座標表記を求める   ■ 定義 ▼ 表記 以後、ベクトルは太字で表す ナブラ∇ = (∂/∂x 1 ,∂/∂x 2 ,∂/∂x 3 )を ∇ β  = (∂/∂x β )と書く事にする 反辺ベクトル V  = (V 1 ,V 2 ,V 3 ) = V 1 e 1  + V 2 e 2  + V 3 e 3   = Σ[α=1,2,3]V α e α  = V α e α   (基底ベクトル e α ) (上付きはべき乗ではなく添字です) (アインシュタインの縮約でΣ記号を省略)   ▼ 反変ベクトル V  の共変微分∇ β V   クリストッフェル記号Γ γ αβ  を使って Γ γ αβ e γ  = (∂/∂x β ) e α  = ∇ β e α  と置く   ∇ β V  = (∂/∂x β ) V   = (∂/∂x β )(V α e α ) = {(∂/∂x β )V α } e α  + V α {(∂/∂x β ) e α } = {(∂/∂x β )V α } e α  + V α Γ γ αβ e γ = {(∂/∂x β )V α } e α  + V γ Γ α γβ e α  … (添字の入替え) = {(∂/∂x β )V α  + V γ Γ α γβ } e α   つまり ∇ β V  = (∂/∂x β ) V  = (∂/∂x β )(V α e α ) = {(∂/∂x β )V α  + V γ Γ α γβ } e α       ■ 導出 ▼ 極座標系の微分 Γ γ αβ e γ  = (∂/∂x β ) e α  = ∇ β e α   を求める   極座標は https://ulprojectmail.blogspot.com/2023/06/polar-1.html 極座標 (1回目) 極座標の基底ベクトルは https://ulprojectmail.blogspot.com/2023/07/polar-4.html 極座標 (4回目) より   | e r |   |  sinθcosφ  sinθsinφ   cosθ|| e x | | e θ | = |
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