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202 5 / 7 / 30 ( 水 ) 懸垂線 (改訂版)   ( 4 回目 )   ( c atenary) 懸垂線 ( カテナリー、紐を垂らしたときの曲線 )   ■ 前提 ▼   定義 g   : 重力加速度 [ m/s 2 ] ρ   :紐の線密度 [kg/m] x 0  : 紐の底の x 座標 [m] H   :水平張力[N] (紐の頂点での張力) y   : 紐の高さ [m] ( 紐の 左端を原点と する xの関数 ) y '   : 紐の 傾き   ▼   懸垂線 λ  = H/(ρg) と置く y (x) = λ { cosh(x / λ - x 0 / λ) -   cosh(x 0 / λ) } y '(x)   = sinh(x / λ - x 0 / λ)   ▼   問題 L   : 紐の長さ [ m ] (√(x 1 2   + y 1 2 ) < L) x 1  : 紐の右端の x 座標 [m]   (2) L を g,ρ, x 0 , x 1 , H   で表せ     ■ (2)Lの 導出 ▼   定義 d s     : x～x +dx 間 (点 A,B 間 )の紐の長さ (m)     ▼ 紐の微小長さ ds y '(x)   = sinh(x / λ - x 0 / λ)   ds  = √ (dx 2  + dy 2 )   = dx √ {1 + (dy/dx) 2 }   = dx √ ( 1 + y ' 2 ) = dx √ { 1 + sinh 2 (x / λ - x 0 / λ) } = dx √ cosh 2 (x / λ - x 0 / λ) = cosh (x / λ - x 0 / λ) dx ▼   紐の長さ L ds = cosh(x / λ - x 0 / λ)dx   を積分 L  = ∫ 0 x1 ds =...

202 5 / 7 / 26 ( 土 ) 懸垂線 (改訂版)   ( 3 回目 )   ( c atenary) 懸垂線 ( カテナリー、紐を垂らしたときの曲線 )   ■ 前提 ▼   定義 g   : 重力加速度 [ m/s 2 ] ρ   :紐の線密度 [kg/m] H   :水平張力[N] (紐の頂点での張力) y   : 紐の高さ [m] ( 紐の 左端を原点と する xの関数 )   ▼   微分方程式 λ  = H/(ρg) と置く y"  = (1/ λ ) √ ( 1 + y' 2 )   ▼ 問題 x 0  : 紐の底の x 座標 [m]   (1) y(x) を g,ρ, x 0 , H ,x で表せ   ■ (1)yの 導出 2(微分方程式を解く) ▼   定義 x = log e   y = log y、y = e x   = exp(x)とする   ▼   双曲線関数 ( ハイパボリック ) c osh( x ) = {exp( x ) + exp(- x )}/2 sinh( x ) = {exp( x ) - exp(- x )}/2 と定義される   {cos h( x)}'  = {exp( x ) -  exp(- x )}/2   = sinh(x) {sin h( x)}'  = {exp( x ) +  exp(- x )}/2   = cosh(x)   sin h( -x)  = {exp( -x ) -  exp( x )}/2   = -sinh(x) cos h( -x)  = {exp( -x ) +  exp( x )}/2   =  cosh(x)   cosh 2 ( x ) - sinh 2 ( x ) = {exp( x )+exp(- x )} 2 /4 - {exp( x )-exp(- x )} 2 /4 = {2exp( x )ex...

202 5 / 7 /20 (日 ) 懸垂線 (改訂版)   ( 2 回目 )   ( c atenary) 懸垂線 ( カテナリー、紐を垂らしたときの曲線 )   ■   前提 ▼ 定義 g   : 重力加速度 [ m/s 2 ] ρ   :紐の線密度 [kg/m] H   :水平張力[N] (紐の頂点での張力) x 0   : 左端から紐の底までの水平距離 [ m ] y   : 紐の高さ [m] ( 紐の 左端を原点と する xの関数 )   ▼ 問題 (1) y(x) を g,ρ, x 0 , H ,x で表せ     ■ (1)yの 導出 1(微分方程式を求める) ▼   定義     T (x) : 紐の張力 (N) θ(x) :水平方向からの張力方向への角度 d s     : x～x +dx 間 (点 A,B 間 )の紐の長さ (m) y ' (x): 懸垂線の傾き   ▼   微分方程式の導出 y  = y (x)   …   紐の形のグラフ y '( x) = dy/dx = tan θ (x)   …   ①   水平方向 水平方向の釣合いはど の xでも 水平張力 H は 同じ になるはずなので H = T (x)cos θ (x) = T(x+dx)cos θ( x+dx)   = const. H  = T (x)cos θ (x)   …   ➁   (水平張力)   垂直方向 図の下向きと上向きの釣合いより T (x)sin θ (x) +   dsρ g = T(x+dx)sin θ( x+dx) に 点 A B 間の紐の長さ ds  = √ (dx 2  + dy 2 )   = dx √ {1 + (dy/dx) 2 } を代入して変形して ρ gdx √ {1 + (dy/dx) 2 } = T(x+dx)sin θ( x+dx) - T (x)sin θ (x) {T(x+...

202 5 / 7 /1 5 ( 火 ) 懸垂線 (改訂版)   (1回目)   ( c atenary) 懸垂線 ( カテナリー、紐を垂らしたときの曲線 )   ■   問題 紐の両端を固定して垂らす   g   : 重力加速度 [ m/s 2 ] ρ   :紐の線密度 [kg/m] L   : 紐の長さ [ m ] (0 < √(x 1 2   + y 1 2 ) < L) x 1   : 紐の両端間の水平距離 [ m ] y 1   : 紐の左端に対する右端の高さ [ m ] が分かっている   H   :水平張力[N] (紐の頂点での張力) x 0   : 左端から紐の底までの水平距離 [ m ] y   : 紐の高さ [m] ( 紐の 左端を原点と する xの関数 ) として次の問いに答えよ   (1) y(x) を g,ρ, x 0 , H ,x で表せ   (2) L を g,ρ, x 0 , x 1 , H   で表せ   (3) x 0   を g,ρ, L,x 1 , y 1 , H   で表せ   ( 4 ) H   を g,ρ,L, x 1 , y 1   から求める方法を示せ     問 (4)でH、問(3)でx 0 が求まり問 (1)で 紐の形状を描く ことができる