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2023/6/25(日) 量子力学 (7回目)   (Quantum mechanics)   水素原子モデルのシュレディンガー方程式 Φ(φ)と Θ(θ)を解く Y(θ,φ)=Φ(φ)Θ(θ):球面調和関数 ■ 定数など ε 0 :真空中の誘電率(F/m) {(F)=(C/V)} Z    :原子番号 e    :電子の電荷(C) m e  :電子の質量(kg) k = 1/(4πε 0 ) … (N･m 2 /C 2 ) V(r) = -ke 2 /r … (or -kZe 2 /r):ポテンシャル     ■ 導出 ▼ Φ(φ)を求める {-ℏ 2 (d 2 /dφ 2 ) - ν}Φ = 0 -ℏ 2 (d 2 Φ/dφ 2 ) = νΦ   d 2 Φ/dφ 2  = (-ν/ℏ 2 )Φ   Φ(φ) = Aexp(imφ) + Bexp(-imφ) と置くところだが逆方向の波も同じ事なので 簡単にするため Φ(φ) = Aexp(imφ) と置くと d 2 Φ/dφ 2  = (im) 2 Aexp(imφ) = (im) 2 Φ   (im) 2  = (-ν/ℏ 2 ) より m = ±√(ν)/ℏ ν = m 2 ℏ 2  より {-ℏ 2 (d 2 /dφ 2 ) - ν}Φ = 0 は {-ℏ 2 (d 2 /dφ 2 ) - (m 2 ℏ 2 )}Φ = 0   φは2πで一周するので Φ(0) = Φ(2π) と Φ(φ) = Aexp(imφ) = A{cos(mφ)+isin(mφ)} より Φ(0) = A = Φ(2π) = A{cos(2πm)+isin(2πm)} cos(2πm)+isin(2πm) = 1 なので cos(2πm) = 1, isin(2πm) = 0 よってm∈Z m = 0,±1,±2,… (m:磁気量子数)   {-ℏ 2 (d 2 /dφ 2 ) - (m 2 ℏ 2 )}Φ = 0の解は Φ(φ) = Aexp(imφ) … A:規格化定数     ▼ Θ(θ)を求める Λ = ℏ 2 λ、x = cosθと置き dt/dθ = -sinθ 1/dθ = -sinθ/dx sin 2 θ = 1-x 2   と ν = m 2 ℏ 2  を代入 を [-ℏ 2 (1/sinθ)(d/dθ){sin

2023/6/17(土) 量子力学 (6回目)   (Quantum mechanics)   水素原子モデルのシュレディンガー方程式 と変数分離 (Hydrogen)     ■ 定数など q 1 ,q 2 :電荷(C) ε 0 :真空中の誘電率(F/m) {(F)=(C/V)} r:電荷間距離 F(r) = {1/(4πε 0 )}q 1 q 2 /r 2  (クーロン力) Z    :原子番号(水素Z = 1) e    :電子の電荷(C) m e  :電子の質量(kg)     ■ 導出 ▼ クーロン力のポテンシャル クーロン力 F(r) = {1/(4πε 0 )}q 1 q 2 /r 2   クーロン力のポテンシャル V(r) = ∫F(r)dr = {1/(4πε 0 )}q 1 q 2 ∫r -2 dr = {1/(4πε 0 )}q 1 q 2 (-1/r + C) … V(∞) = 0よりC = 0 V(r) = -{1/(4πε 0 )}q 1 q 2 /r     ▼ 水素原子の電子のポテンシャル k = 1/(4πε 0 ) … (N･m 2 /C 2 ) V(r) = -ke 2 /r … (or -kZe 2 /r)     ▼ 水素原子のシュレディンガー方程式 [{-ℏ 2 /(2m e )}∇ 2  + V( x )]φ( x ) = Eφ( x )   導出は https://ulprojectmail.blogspot.com/2023/05/quantum-2.html 量子力学 (2回目)   ∇ 2  = ∂ 2 /∂x 2  + ∂ 2 /∂y 2  + ∂ 2 /∂z 2   = (1/r 2 )(∂/∂r){r 2 (∂/∂r)} + {1/(r 2 sinθ)}(∂/∂θ){sinθ(∂/∂θ)} + {1/(r 2 sin 2 θ)}(∂ 2 /∂φ 2 )   導出は https://ulprojectmail.blogspot.com/2023/06/polar-2.html 極座標 (2回目)   R(r):動径関数 Y(θ,φ):球面調和関数   φ( x )をΨ(r,θ,φ) = R(r)Y(θ,φ)に置換えて [{-ℏ 2 /(2m e )}∇ 2  + V(r)]Ψ = EΨ [{-ℏ 2 /(2

2023/5/30(火) N88-BASICで量子力学 (2回目)   (Quantum mechanics)   今回はトンネル効果の透過率です     シュレディンガー方程式の導出 https://ulprojectmail.blogspot.com/2023/05/quantum-1.html 量子力学 (1回目)   時間に依存しないシュレディンガー方程式の分離 https://ulprojectmail.blogspot.com/2023/05/quantum-2.html 量子力学 (2回目)   トンネル効果 https://ulprojectmail.blogspot.com/2023/05/quantum-5.html 量子力学 (5回目)     ■ 記号 x :位置(m) x :位置ベクトル(m) m :質量(kg) E :エネルギー(J) h :プランク定数(6.62607015×10 -34 J･s) ℏ :ディラック定数 [ℏ = h / (2π)] φ( x ):時間を含まない波動関数 V( x ):ポテンシャルエネルギー H :ハミルトニアン ∇:ナブラ [∇ = (∂/∂ x )] d :壁の長さ(m) V 0 :壁のポテンシャル [V 0 ≧Eとする]   時間を含まない1次元のシュレディンガー方程式 [{-ℏ 2 /(2m)}(∂ 2 /∂x 2 ) + V(x)]φ(x) = Eφ(x)     ■ 長さ有限の壁の解 長さdの有限の壁(壁のポテンシャルV 0 ≧E)   ■ トンネル効果の透過確率T φ(x < 0  ) = Aexp(ikx) + A'exp(-ikx) φ(0≦x≦d) = Bexp(λx) + B'exp(-λx) φ(x > d  ) = Cexp(ikx) + C'exp(-ikx) について 波がx < 0の位置から右進行している場合 A exp( ikx) … 壁の左側の入射波(右進行) A'exp(-ikx) … 壁の左側の反射波(左進行) C exp( ikx) … 壁の右側の透過波(右進行) となる   存在確率 |φ(x)| 2  より 透過率T = |C/A| 2       ■ r-Tグラフ r = E/V 0  : 0 ＜ r ≦ 1

2023/5/27(土) 量子力学 (5回目)   (Quantum mechanics)   今回はトンネル効果です     ■ 記号 t :時間(s) x :位置(m) x :位置ベクトル(m) m :質量(kg) E :エネルギー(J) h :プランク定数(6.62607015×10 -34 J･s) ℏ :ディラック定数 [ℏ = h / (2π)] φ( x ):時間を含まない波動関数 V( x ):ポテンシャルエネルギー H :ハミルトニアン ∇:ナブラ [∇ = (∂/∂ x )] d :壁の長さ(m) V 0 :壁のポテンシャル [V 0 ≧Eとする]   時間を含まない1次元のシュレディンガー方程式 [{-ℏ 2 /(2m)}(∂ 2 /∂x 2 ) + V(x)]φ(x) = Eφ(x)       ■ 長さ有限の壁の解 長さdの有限の壁(壁のポテンシャルV 0 ≧E)   ▼ x < 0 のとき V(x) = 0 {-ℏ 2 /(2m)}(∂ 2 /∂x 2 )φ(x) = Eφ(x)   (∂ 2 /∂x 2 )φ(x) = (-2mE/ℏ 2 )φ(x) k = √(2mE/ℏ 2 ) … (E ≧ 0) と置くと (∂ 2 /∂x 2 )φ(x) = -k 2 φ(x) φ(x) = Aexp(ikx) + Bexp(-ikx) (代入すると成り立つ)   ▼ 0 ≦ x ≦ dのとき {ℏ 2 /(2m)}(∂ 2 /∂x 2 )φ(x) - V(x)φ(x) = -Eφ(x) (∂ 2 /∂x 2 )φ(x) = (2m/ℏ 2 ){V(x) - E}φ(x) V(x) = V 0  より   (∂ 2 /∂x 2 )φ(x) = (2m/ℏ 2 )(V 0  - E)φ(x) λ = √{(2m/ℏ 2 )(V 0  - E)} … (V 0  ≧ E) と置くと (∂ 2 /∂x 2 )φ(x) = λ 2 φ(x) φ(x) = Cexp(λx) + Dexp(-λx) (代入すると成り立つ)   ▼ x > d のとき V(x) = 0 {-ℏ 2 /(2m)}(∂ 2 /∂x 2 )φ(x) = Eφ(x) x < 0のとき同様にして φ(x) = Fexp(ikx) + Gexp(-ikx)     ■

2023/5/24(水) 量子力学 (4回目)   (Quantum mechanics)   今回は片側有限の井戸型ポテンシャルの解です     ■ 記号 t :時間(s) x :位置(m) x :位置ベクトル(m) m :質量(kg) E :エネルギー(J) h :プランク定数(6.62607015×10 -34 J･s) ℏ :ディラック定数 [ℏ = h / (2π)] φ( x ):時間を含まない波動関数 V( x ):ポテンシャルエネルギー H :ハミルトニアン ∇:ナブラ [∇ = (∂/∂ x )] L :井戸の底の長さ(m) V 1 :井戸の有限壁のポテンシャル [V 1 ≧Eとする]   時間を含まない1次元のシュレディンガー方程式 [{-ℏ 2 /(2m)}(∂ 2 /∂x 2 ) + V(x)]φ(x) = Eφ(x)       ■ 有限の井戸型ポテンシャル 底の長さLの井戸(壁のポテンシャルが∞とV 1 ≧E)   ▼ x < 0 のとき V(x) = ∞ φ(x) = 0 … 存在確率|φ(x)| 2  = 0   ▼ 0 ≦ x ≦ L のとき V(x) = 0 {-ℏ 2 /(2m)}(∂ 2 /∂x 2 )φ(x) = Eφ(x)   (∂ 2 /∂x 2 )φ(x) = (-2mE/ℏ 2 )φ(x) k = √(2mE/ℏ 2 ) … (E ≧ 0) と置くと (∂ 2 /∂x 2 )φ(x) = -k 2 φ(x) 前回の微分方程式の解より φ(x) = Bcos(kx)+Asin(kx)   ▼ x > L のとき V(x) = V 1   φ(∞) = 0 … 存在確率|φ(∞)| 2  = 0   {ℏ 2 /(2m)}(∂ 2 /∂x 2 )φ(x) - V(x)φ(x) = -Eφ(x) (∂ 2 /∂x 2 )φ(x) = (2m/ℏ 2 ){V(x) - E}φ(x)   (∂ 2 /∂x 2 )φ(x) = (2m/ℏ 2 )(V 1  - E)φ(x) λ = √{(2m/ℏ 2 )(V 1  - E)} … (V 1  ≧ E) と置くと (∂ 2 /∂x 2 )φ(x) = λ 2 φ(x) φ(x) = Cexp(-λx) + Dexp(λx) (代入すると成り立つ)   φ(∞) = 0