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2024/ 9 / 27 (金 ) N88-BASICで 終端速度 2  ( 1 回目 )   (Terminal velocity)   速度 の 2乗 に比例する空気抵抗のある投げ上げ   ■ 前提 ▼ 参照 https://ulprojectmail.blogspot.com/2024/09/2terminal-3.html 終端速度 2  ( 3 回目 ) より   ▼ 定義 g:重力加速度(m/s 2 ) v 0 :初速度(m/s) v:速度(m/s) k:空気抵抗の比例定数(N･s/m)   … 1m/s 毎の力 ( N) m:質量(kg) F:力(N) a:加速度(m/s 2 ) y :位置(m) y 0 :初期位置(m) v ∞ :終端速度(m/s)   ▼ 定義 λ  = √( g k / m) , v ∞  = - √( mg/k ) t 1  = (1/λ)Tan -1 (- v 0 / v ∞ )   ▼ 上昇中 (t = 0 ～ t 1 ) v(t) = v ∞ { v 0  + v ∞ tan   ( λt ) }/{ v ∞   -   v 0 tan   ( λt ) }  (t=0～t 1 ) y( t ) =   y 0   - ( v ∞ / λ ) log| cos   (λt )   -   (v 0 /v ∞ )s in   ( λt )|  (t=0～t 1 ) a (t) = (λ/ v ∞ )( v ∞ 2  + {v(t)} 2 ) y 1   = y( t 1 )   ▼ 下降中 (t'= t - t 1 , t  = t 1   ～ ∞) v(t') = v ∞ tan h ( λt ' ) y ( t ' ) =   y 1  + ( v ∞ / λ ) log| cosh(λt ' )| a (t ' )  = (λ/ v ∞ )( v ∞ 2  - {v(t')} 2 )     ■ 解説 上向きを正として 空気抵抗 -k 2 vがある場合とない場合の 投げ上げ の 加速度 a、速度v、位置yの時間t変化を 描画しました     VL,NL,XL-BASICとdlg～.zip(term201.bas)は このブログ (以下のリンク)から ダウンロー

2024/ 9 / 22 ( 日 ) 終端速度 2 ( 3 回目 )   (Terminal velocity)   速度の 2乗に比例する空気抵抗 のある投げ上げ (上向きを正とする)   ■ 前提 ▼ 定義 g:重力加速度(m/s 2 ) v 0 :初速度(m/s) v:速度(m/s) k:空気抵抗の比例定数(N･s/m)   … 1m/s 毎の力 ( N) m:質量(kg) F:力(N) a:加速度(m/s 2 ) y :位置(m) y 0 :初期位置(m) v ∞ :終端速度(m/s)   ▼ 定義 λ  = √( g k / m) , v ∞  = - √( mg/k )   ▼ 最高地点までの時間 t 1  = (1/λ)Tan -1 (- v 0 / v ∞ )   ▼ 速度 v(t) = v ∞ { v 0  + v ∞ tan   ( λt ) }/{ v ∞   -   v 0 tan   ( λt ) }  (v≧0) v(t) = v ∞ { v 0  + v ∞ tan h ( λt ) }/{ v ∞  + v 0 tan h ( λt ) }  (v≦0)   ▼ 位置 y( t ) =   y 0   - ( v ∞ / λ ) log| cos   (λt )   -   (v 0 /v ∞ )s in   ( λt )|  (v≧0) y ( t ) =   y 0  + ( v ∞ / λ ) log| cosh(λt )  + (v 0 /v ∞ )s inh ( λt )|  (v≦0)   ▼ 加速度 a (t) = (λ/ v ∞ )( v ∞ 2  + {v(t)} 2 )  (v≧0) a (t)  = (λ/ v ∞ )( v ∞ 2  - {v(t)} 2 ) (v≦0)     ■ 導出 ▼ 上昇 ( 最高地点まで ) λ  = √( g k / m) , v ∞  = - √( mg/k ) t 1  = (1/λ)Tan -1 (- v 0 / v ∞ )  … 最高地点までの時間 (s)   0 ≦ t ≦ t 1   v(t) = v ∞ { v 0  + v ∞ tan   ( λt ) }/{ v ∞   -   v 0 tan   ( λt ) }  (v≧0) y( t ) =   y 0  

2024/ 9 / 18 ( 水 ) 終端速度 2 ( 2 回目 )   (Terminal velocity)   速度の 2乗に比例する空気抵抗 と重力 のある 垂直運動 (上向きを正としv≧0,v≦0に場合分けしたa, v, y)   ■ 前提 ▼ 定義 g:重力加速度(m/s 2 ) v 0 :初速度(m/s) v:速度(m/s) k:空気抵抗の比例定数(N･s/m) … 1m/s毎の力(N) m:質量(kg) F:力(N) a:加速度(m/s 2 ) y:位置(m) y 0 :初期位置(m) v ∞ :終端速度(m/s)   j 2  = -v/|v|, v ∞  = -j√( mg/k ) λ  = √( g k / m), w = v ∞ /j, λ/w = - k /m   ▼ 速度 v(t) = w{ v 0  + ( w /j)tanh ( jλt ) }/{w + j v 0 tan h ( jλt ) }   ▼ 位置 y (t) = y 0  + {w/( j 2 λ )}log| 1  + ( j v 0 /w) tan h ( jλt )|   ▼ 加速度 a (t)   = w λ [1  - (j/w) 2 {v(t)} 2 ]     ■ 導出 ▼ 定義 t 1 : 最高地点までの時間 (s)   ▼ 公式 sinh(t) = {exp(t)-exp(-t)}/2 cosh(t) = {exp(t)+exp(-t)}/2 tanh(t) = sinh(t) / cosh(t)   sin(t) = {exp(it)-exp(-it)}/(2i) cos(t) = {exp(it)+exp(-it)}/2 tan(t) = sin(t) / cos(t)   exp(it) = cos(t)+isin(t) exp(-it) = cos(t)-isin(t)   sinh( i t) /i  = sin(t) cosh( i t) = cos(t) tanh( i t) /i  = tan(t) tanh( i t) = i tan(t) i tanh( i t) = - tan(t)   ▼ 速度( v ≧0 ) j 2  = -v/|v|  = -1, j = i v ∞  = -j√( mg/k )  = -i √( mg/k