投稿

フーリエ変換 (5回目)

2025/3/4(火) フーリエ変換 ( 5 回目 )   (fourier   t ransform )   ■ フーリエ変換(FT)( F ourier   T ransform ) (周期が∞のフーリエ級数) ▼ 結果 y:変位, t:時間, A:振幅, f:周波数 y(t) = ∫ -∞ ∞ {A ( f )e i2πft } d f A(f) = ∫ -∞ ∞ {y(t)e -i2πft } dt   ▼ 式 複素フーリエ級数 (周期T , 周波数 f n   = n/T, n = 0, ± 1, ± 2, …, ± N → ± ∞) y(t) = Σ n=- N N { c n e xp(i2πf n t ) } c n   = (1/T)∫ 0 T {y(t)e xp(-i2πf n t )}dt   周期 T→∞とする ので、 F = 1/T (F→0)とする 周波数 f = f n   = n/T = nF, T = 1/F = n/fと置いて c n   = (1/T)∫ 0 T {y(t)e xp(-i2πf n t )}dt = F ∫ 0 1/F {y(t)e xp(-i2πft )}dt = F ∫ -1/(2F) 1/(2F) {y(t)e xp(-i2πft )}dt A(f) = ∫ -1/(2F) 1/(2F) {y(t)e xp(-i2πft )}dt と置く c n   = FA(f)   y(t) = Σ n=- N N { c n e xp(i2πft ) } = Σ n=- N N {FA(f n ) e xp(i2πft ) } ( F →0)は面積を表すので = ∫ - N N { A( f n )e xp(i2πft ) } d f (N→∞) A(f) = ∫ -1/(2F) 1/(2F) {y(t)e xp(-i2πft ) } dt   (F→0) = ∫ -∞ ∞ {y(t)e xp(-i2πft ) } dt  
続きを読む

フーリエ変換 (4回目)

2025/3/1(土) フーリエ変換 ( 4 回目 )   (fourier)   ■ 複素フーリエ級数 ▼ 結果 (周期T , 周波数 f n   = n/T, n = 0, ± 1, ± 2, …, ± N → ± ∞) y(t) = Σ n=- N N { c n e xp(i2πf n t ) } c n   = (1/T)∫ 0 T {y(t)e xp(-i2πf n t )}dt   ▼ 式 周期 Tのフーリエ級数 (周期T , 周波数 f n   = n/T, n = 1, 2, 3, …, N → ∞) y(t) = (a 0 /2) + Σ n=1 N {a n cos(2π f n t ) + b n sin(2π f n t )} a n   = (2/T)∫ 0 T y(t)cos(2π f n t )dt b n   = (2/T)∫ 0 T y(t)sin(2π f n t )dt   e ix   = cosx + isinx e -ix   = cosx - isinx cosx = (e ix   + e -ix )/2 sinx = (e ix   - e -ix )/(2i)   y(t) = (a 0 /2) + Σ n=1 N {a n cos(2π f n t ) + b n sin(2π f n t )} = (a 0 /2)   + Σ n=1 N [ a n { e xp( i2π f n t)   + e xp(- i2π f n t)} /2 +   b n { e xp( i2π f n t)   -   e xp(- i2π f n t)} /(2i) ] = (a 0 /2)   + Σ n=1 N [ a n { e xp( i2π f n t)   + e xp(- i2π f n t)} /2 - i b n { e xp( i2π f n t)   -   e xp(- i2π f n t)} /2 ] = (a 0 /2)   + Σ n=1 N [( a n ...
続きを読む

N88-BASICでフーリエ変換 (1回目)

イメージ
2025/2/25(火) N88-BASICで フーリエ変換 ( 1 回目 ) (fourier)   ■ 周期Tのフーリエ級数 ▼ 前提 https://ulprojectmail.blogspot.com/2025/02/fourier-3.html フーリエ変換 (3回目) より   ▼ 結果 T:サンプル計測時間 (周期) N:サンプル総数 t k :サンプルの計測時刻( k   = 0, 1, 2, …, N-1) , t k   =   k( T/N ) y k :各サンプルの計測値( k   = 0, 1, 2, …, N-1)   周波数 f n   = n /T ( n   = 1 , …, N) y(t) = (a 0 /2) + Σ n=1 N {a n cos(2π f n t ) + b n sin(2π f n t )} a n   ≒ (2/ N ) Σ k=0 N-1 [ y k cos(2π f n t k )] b n   ≒ (2/ N ) Σ k=0 N-1 [ y k sin (2π f n t k )] を計算する   ▼ 動作 y(t)をcos,sinの合成波として定義し a n   , b n   を求めて cosの係数 a n   , sinの係数 b n   周波数 f n   と合成振幅 A = √( a n 2   + b n 2 ) を表示しています   VL,NL,XL-BASICとdlg～.zip( fou 00 1 .bas)は このブログ (以下のリンク)から ダウンロードできます https://ulprojectmail.blogspot.com Readme.txtを読んで遊んで下さい  
続きを読む

フーリエ変換 (3回目)

2025/2/22(土) フーリエ変換 ( 3 回目 ) (fourier)   ■ 周期Tの 離散 フーリエ級数 ▼ 結果 T:サンプル計測時間 (周期) N:サンプル総数 t k :サンプルの計測時刻( k   = 0, 1, 2, …, N-1) , t k   =   k( T/N ) y k :各サンプルの計測値( k   = 0, 1, 2, …, N-1)   周波数 f n   = n /T ( n   = 1 , …, N) y(t) = (a 0 /2) + Σ n=1 N {a n cos(2π f n t ) + b n sin(2π f n t )} a n   ≒ (2/ N ) Σ k=0 N-1 [ y k cos(2π f n t k )] b n   ≒ (2/ N ) Σ k=0 N-1 [ y k sin (2π f n t k )]   ▼ 式 ∫をΣで近似する (周期T , 周波数 f n   = n/T, n = 1, 2, 3, …, N → ∞) y(t) = (a 0 /2) + Σ n=1 N {a n cos(2π f n t ) + b n sin(2π f n t )} a n   = (2/T)∫ 0 T y(t)cos(2π f n t )dt b n   = (2/T)∫ 0 T y(t)sin(2π f n t )dt   a n cos(2π f n t )   + b n sin(2π f n t ) = √( a n 2   + b n 2 )sin( 2π f n t + Tan -1 (a n / b n ))   ここで 周期 Tのサンプル数Nとして   T:サンプル計測時間 (周期) N:サンプル総数 t k :サンプルの計測時刻( k   = 0, 1, 2, …, N-1) y k :各サンプルの計測値( k   = 0, 1, 2, …, N-1)   Δt = T/N t k   = kΔt = kT/N   a n   = (2/...
続きを読む

フーリエ変換 (2回目)

2025/2/18(火) フーリエ変換 (2回目)   (fourier)   ■ 周期Tのフーリエ級数 ▼ 結果 (周期T , 周波数 f n   = n/T, n = 1, 2, 3, …, N → ∞) y(t) = (a 0 /2) + Σ n=1 N {a n cos(2π f n t ) + b n sin(2π f n t )} a n   = (2/T)∫ 0 T y(t)cos(2π f n t )dt    … cos(2π f n t ) のみの振幅を取り出す b n   = (2/T)∫ 0 T y(t)sin(2π f n t )dt    … sin (2π f n t ) のみの振幅を取り出す   a n cos(2π f n t )   + b n sin(2π f n t ) = √( a n 2   + b n 2 )sin( 2π f n t + Tan -1 (a n / b n ))   ▼ 周期Tの波の式 波はベースライン cとsin,cosの和で表せるとすると ( 周波数 f n   = n/T, n = 1, 2, 3, …, N → ∞) y(t) = c + Σ n=1 N { a n cos(2π f n t ) + b n sin(2π f n t )} c = (1/T)∫ 0 T y(t)dt  … 1周期の変位の合計がc   ▼ cosの振幅a n   を求める [クロネッカーのデルタδ mn   = 1(m＝n), 0(m≠n)] 周期 T , 周波数f n   = n/T, f m   = m/T   (m, n ∈ Z ) ∫ 0 T cos(2π f m t )cos(2π f n t)dt = (T/2)δ mn   ∫ 0 T sin(2π f m t)cos(2π f n t)dt = 0 より ∫ 0 T y(t)cos(2π f n t )dt は y(t)の内sin成分と,違う周波数のcosが0となるため y(t)の内cos(2π f n t )の成分のみ取り出せるの...
続きを読む