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2022/10/4(火) 直観主義数学   直観主義数学という言葉を耳にしました 何だろうと思い調べてみると 古典論理と直観主義論理にたどり着きました   論理は 「 AならばB」が真の時、対偶「BでなければAでない」 も真である、などといった数学の分野です   使用分野 古典～は科学分野など 直観～は情報分野 (計算機)など で使用されるそうです   直観主義論理は古典論理から排中律を除いたもの で、証明できる場合がより限定されます   排中律は 「 AまたはAでない」は真であるという事 (AかAでないかのどちらかしかない)   古典～で証明ができて科学分野で役に立っても 直観～で証明できない場合があり、その場合 計算ができなく、情報分野 (計算機)では 役に立たないという事です   例題   「無理数の無理数乗」には有理数が存在する の証明     古典～で証明   √2は無理数である(証明省略) (√2 √2 ) √2  = √2 √2√2  = (√2) 2  = 2で有理数 ここで 「 AまたはAでない」は真 (AかAでないかのどちらかしかない) を使用する   √2 √2 が有理数なら 「無理数の無理数乗」には有理数が存在する   √2 √2 が無理数 (有理数でない)なら (√2 √2 ) √2  = 2 「無理数の無理数乗」には有理数が存在する   つまり √2 √2 は有理数か有理数でないかのどちらかしかない ので、どちらにせよ有理数が存在する この証明は何らかの役には立つ   しかし、直観～で証明されていない この証明ではどちらが有理数か不明なので 存在する有理数を計算して求める事が出来ない   [√2 √2 を計算してもそれが有理数かどうか不明 (√2 √2 ) √2   も同様に無理数の無理数乗か不明 ]     直観～で証明   実は √2 √2 が無理数であることは証明されている そうですのでこれを使うと (√2 √2 ) √2  = √2 √2√2  = (√2) 2  = 2で有理数 で証明できる (排中律不使用)   こちらの証明では無理数の無理数乗 (√2 √2 ) √2   の計算ができる N88-BASICでは ? ( sqr(2) ^ sqr(2) ) ^ sqr(2) ですが、計算誤差の為、丁度 2にならないかもしれません

2022/9/23(金) VL-BASICで惑星の軌道 (2回目)   前回 https://ulprojectmail.blogspot.com/2022/09/vl-basic-1.html VL-BASICで惑星の軌道 (1回目) のプログラムを 途中で x軸(横軸)回りに視点を回転可能にしました 春分秋分などの表示文字の回転は非対応です   2022年9月23日(金) の秋分の日の惑星の位置 までを 1年前から表示しました   惑星の 点は手前で大きく、奥で小さく表示しています 軌跡の色と惑星の色は以下の通りです   青軌跡 (惑星) 白　 :水星 黄　 :金星 水色 :地球 紫　 :火星   紫軌跡 (小惑星) 黄　 :竜宮 緑　 :糸川   その他の惑星や彗星は 2:～冥王星 を選ぶと表示範囲に入ります 表示色などは DATA文を見て下さい 0黒 1青 2赤 3紫 4緑 5水 6黄 7白 8+色は軌跡が紫、色のみは軌跡が青 です   操作方法 '@'キーで自分が上方向へ移動 ':'キーで自分が下方向へ移動 enterキーで真上へ移動     遅いのでキーの押しすぎに注意して下さい   表示される軌道と実際の軌道に ズレがある場合があります 自己責任で使用して下さい (最新の軌道データを使用すると改善されるか もしれません)   VL-BASICとblg～.zip(plan002v.bas)は 以下のリンクからダウンロードできます https://ulprojectmail.blogspot.com Readme.txtを読んで遊んで下さい  

2022/9/21(水) VL-BASICで惑星の軌道 (1回目)   https://ulprojectmail.blogspot.com/2021/10/n88-basic-2.html N88-BASICで天体の軌道 (2回目) のプログラムを N88-BASIC互換?VL-BASICの 拡張命令 (ブロックIF文や行列関係の命令)を 使用して書き直し   2022年9月23日(金) の秋分の日の惑星の位置を表示 しました   青軌跡 白　 :水星 黄　 :金星 水色 :地球 紫　 :火星   紫軌跡 黄　 :竜宮 緑　 :糸川   表示される軌道と実際の軌道に ズレがある場合があります 自己責任で使用して下さい (最新の軌道データを使用すると改善されるか もしれません)   VL-BASICとblg～.zip(plan001v.bas)は 以下のリンクからダウンロードできます https://ulprojectmail.blogspot.com Readme.txtを読んで遊んで下さい  

2022/9/18(日) 命題が正しいのに対偶が正しくない パラドックス   ネットで見つけた問題を考えて見ました (2019/9に書いたリニューアル記事です)     問題   命題 :「注意されない ならば 私語をする」 が正しいなら 対偶 :「私語をしない ならば 注意される」 は正しい   　　　 ...正しくない気がする   　　　 何故か ?     前提   (論理) 命題 :「A なら　　　 B である」 が正しいなら 逆　 :「B なら　　　 A である」 は間違い 否定 :「A でないなら B でない」 は間違い 対偶 :「B でないなら A でない」 は正しい   (例) 命題 :「りんご なら 　　　果物 　である」 が正しいなら 逆　 :「果物　 なら 　　　りんご である」 は間違い 否定 :「りんご でないなら 果物　 でない」 は間違い 対偶 :「果物　 でないなら りんご でない」 は正しい   (問題) 命題 :「注意されない ならば 私語をする　」 が正しいなら 否定 :「注意される 　ならば 私語をしない」 は間違い 　　　 (注意されても私語をするかも) 逆　 :「私語をする　 ならば 注意されない」 は間違い 　　　 (私語をすると注意されるかも) 対偶 :「私語をしない ならば 注意される　」 は正しい?     考察   時系列をはっきりさせる   この命題の場合、注意という過去のアクションに対して 私語の現在のアクションが決まるという時系列で考えると   命題 :「注意されない(過去) ならば 私語をする(現在)」 　　　が正しいなら 対偶 :「私語をしない(現在) ならば 注意される(過去)」 　　　は、現在私語をしていない ならば 過去に注意された 　　　という事になり、正しい事が分かります   　　　勝手に現在と過去を入れ替えて 　　　私語をしていないのに注意されるという 　　　誤解をしたためパラドックスに感じたという事です     おまけ   命題 :「注意されない(過去) ならば 私語をする(現在)」 に対して、次の事が成り立つ   注意されていない ならば 私語をする 注意された 　　　ならば 私語をする or 私語をしない 私語をしている　 ならば 注意された or 注意されてい

2022/8/15(木) N88-BASICでネイピア数 (4回目)   ネイピア数e(Napier's constant)   e x  = lim[n→∞] (1 + x/n) n   を変形する   (a + b) n  = Σ n C i a n-i b i  [i = 0～n] と nCr = n(n-1)…(n-r+1)/r! より   (1 + x/n) n   = Σ n C i (x/n) i  [i = 0～n] = 1 + n (x/n) + n(n-1)/2! (x/n) 2   + n(n-1)(n-2)/3! (x/n) 3  + …   = 1 + x + (n-1)/2! (x/n) + (n-1)(n-2)/3! (x/n) 2  + … = 1 + x + (n-1)/2! (x/n) + (n 2 -3n+1)/3! (x/n) 2  + … = 1 + x + {1/2! - 1/(2!n)}x 2   + {1/3! - 3/(3!n) + 1/(3!n 2 )}x 3  + …   = 1 + x + x 2 /2! + x 3 /3! + … (n→∞) = x 0 /0! + x 1 /1! + x 2 /2! + x 3 /3! + … (n→∞)   lim[n→∞] (1 + x/n) n   = Σ(1/k!)x k  [k = 0～∞]   結果 e x  = lim[n→∞] (1 + x/n) n  = Σ(1/k!)x k  [k = 0～∞]   プログラムではmを入力し e x  = lim[n→∞] (1 + x/n) n  ≒ Σ(1/k!)x k  [k = 0～m] の計算結果を表示しています     追記 e x  はexp(x)とも表記し BASICではexp(x)を使用しa x はa^xと記述します     VL,NL,XL-BASICとblg～.zip(napi004.bas)は 以下のリンク)からダウンロードできます https://ulprojectmail.blogspot.com Readme.txtを読んで遊んで下さい  

2022/9/12(月) N88-BASICでネイピア数 (3回目)   ネイピア数e(Napier's constant)   年利x (100x %) の利息について、1年をn等分して 複利で1年後の残金が何倍になるかを計算すると   n = 1 → 1+x n = 2 → (1+x/2)(1+x/2) = (1+x/2) 2   となるのでn等分の場合 (1 + x/n) n  倍になる   https://ulprojectmail.blogspot.com/2022/09/n88-basicnapier-1.html N88-BASICでネイピア数 (1回目) より e = lim[n→∞] (1 + 1/n) n   を使用して lim[n→∞] (1 + x/n) n   をeで表す   n/x = hと置くとn→∞のときh→∞ n = xhなので lim[n→∞] (1 + x/n) n   = lim[h→∞] (1 + 1/h) hx   = { lim[h→∞] (1 + 1/h) h  } x   　ここで「lim[n→∞] (1 + 1/n) n  = e」より = e x   となる   プログラムではnを入力し a = (1 + x/n) n  をe x  = exp(x)と共に 表示しています     ちなみに   10日で1割ならば1年(複利)で33倍近くになり 1日で1％ならば1年(複利)で38倍近くになります   年利x=0.1/10×365=3.65, 分割n=365/10=36.5 年利x=0.01×365  =3.65, 分割n=365で、それぞれ 32.42149286353205 37.78343433288728 と表示されます     より正確に計算するならば 現在のカレンダーに使用されている暦(グレゴリオ暦) の1年を近似した365.2425日を使用して下さい   グレゴリオ暦については https://ulprojectmail.blogspot.com/2021/09/n88-basicjd-1.html N88-BASICでユリウス日(JD) (1回目) を参照して下さい     VL,NL,XL-BASICとblg～.zip(napi003.bas)は 以下のリンク)からダウンロードできます ht

2022/8/9(金) N88-BASICでネイピア数 (2回目)   ネイピア数e(Napier's constant)   e = lim(n→∞) (1 + 1/n) n   を変形する   二項定理と組合せは https://ulprojectmail.blogspot.com/2021/07/vl-basic3-1.html VL-BASICで3乗の展開の図 (1回目) https://ulprojectmail.blogspot.com/2021/11/n88-basicpc.html N88-BASICで順列組合せ を参照   (a + b) n  = Σ n C i a n-i b i  [i = 0～n] と nCr = n(n-1)…(n-r+1)/r! より   (1 + 1/n) n   = Σ n C i (1/n) i  [i = 0～n] = 1 + n (1/n) + n(n-1)/2! (1/n) 2   + n(n-1)(n-2)/3! (1/n) 3  + …   = 1 + 1 + (n-1)/2! (1/n) + (n-1)(n-2)/3! (1/n) 2  + … = 1 + 1 + (n-1)/2! (1/n) + (n 2 -3n+1)/3! (1/n) 2  + … = 1 + 1 + {1/2! - 1/(2!n)} + {1/3! - 3/(3!n) + 1/(3!n 2 )} + …   = 1 + 1 + 1/2! + 1/3! + … (n→∞) = 1/0! + 1/1! + 1/2! + 1/3! + … (n→∞)   e = lim[n→∞] (1 + 1/n) n   = Σ1/k! [k = 0～∞]   プログラムではmを入力し e = lim[n→∞](1 + 1/n) n  ≒ Σ1/k! [k = 0～m] で計算した結果を表示しています     おまけ ln xの微分(ln x = log e x)   f(x) = log e x、f'(x) = (d/dx)f(x) e = lim[n→∞] (1 + 1/n) n   とすると   f'(x) = lim[h→0] {f(x+h)-f(x)}/h = lim[h→0] (log e (x+h) - lo