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2023/5/8(月) N88-BASICで量子力学   (Quantum mechanics)   シュレディンガー方程式の導出 https://ulprojectmail.blogspot.com/2023/05/quantum-1.html 量子力学 (1回目)   時間に依存しないシュレディンガー方程式の分離 https://ulprojectmail.blogspot.com/2023/05/quantum-2.html 量子力学 (2回目)   井戸型ポテンシャル https://ulprojectmail.blogspot.com/2023/05/quantum-3.html 量子力学 (3回目)     ■ 記号 x :位置(m) m :質量(kg) E :エネルギー(J) h :プランク定数(6.62607015×10 -34 J･s) ℏ :ディラック定数 [ℏ = h / (2π)] φ n (x):波動関数   ■ 井戸型ポテンシャル E n  = n 2 ℏ 2 π 2 /(2mL 2 ) φ n (x) = √(2/L)･sin{(nπ/L)x} (n = 1,2,3,…)     ■ 式変形 E n  = n 2 ℏ 2 π 2 /(2mL 2 ) = n 2 {h/(2π)} 2 π 2 /(2mL 2 ) = n 2 (h/2) 2 /(2mL 2 ) = n 2 h 2 /(8mL 2 )   コンピュータの数値は有限の為 2乗はOver flowや0(10e-40は0) になるなどの 不具合が起きる場合があるので 計算順序に工夫が必要   (10 -20 ) 2  / (10 -20 ) 2  は1だが (10 -20 ) 2  = 10 -40  はコンピュータでは0となり 0 / 0となってしまうので (10 -20  / 10 -20 ) 2  としなければならない     ■ 状況設定 電子の質量m e  = 9.1093837015×10 -31  kg 水素の直径0.2 nm 水素が入るくらいの井戸に 電子が入っている状況を使用しました     nに自然数を入力すると エネルギー 存在確率 波動関数 を表示します   VL,NL,XL-BASICと blg～.zip (quan001.bas)は 以下のリンクからダウ

2023/5/7(日) 量子力学 (3回目)   (Quantum mechanics)   今回は井戸型ポテンシャルの解です   時間依存しない(定常状態) シュレディンガー方程式の階   ■ 微分方程式の解 (∂ 2 /∂x 2 )φ(x) = -k 2 φ(x)   aexp{i(kx+b)} = exp(ib)aexp(ikx) = Aexp(ikx) なので微分して定数項kが出ているので φ(x) = Cexp(ikx) + Dexp(-ikx)と置くと   (∂ 2 /∂x 2 )φ(x) = (ik) 2 Cexp(ikx) + (-ik) 2 Dexp(-ikx) = -k 2 {Cexp(ikx) + Dexp(-ikx)} = -k 2 φ(x) となり、解であると分かる   オイラーの公式より φ(x) = Cexp(ikx) + Dexp(-ikx) = C{cos(kx)+isin(kx)}+D{cos(-kx)+isin(-kx)} = C{cos(kx)+isin(kx)}+D{cos(kx)-isin(kx)} = (C+D)cos(kx)+(C-D)isin(kx) ここでB = C+D、A = (C-D)iと置き直すと   φ(x) = Bcos(kx) + Asin(kx) となる       ■ 記号 t :時間(s) x :位置(m) x :位置ベクトル(m) m :質量(kg) E :エネルギー(J) h :プランク定数(6.62607015×10 -34 J･s) ℏ :ディラック定数 [ℏ = h / (2π)] φ( x ):時間を含まない波動関数 V( x ):ポテンシャルエネルギー H :ハミルトニアン ∇:ナブラ [∇ = (∂/∂ x )] L :井戸の底の長さ(m)   時間を含まない1次元のシュレディンガー方程式 [{-ℏ 2 /(2m)}(∂ 2 /∂x 2 ) + V(x)]φ(x) = Eφ(x)       ■ 井戸型ポテンシャル 底の長さLの井戸(両壁の高さが∞)   ▼ x < 0, x > L のとき V(x) = ∞ φ(x) = 0 … 存在確率|φ(x)| 2  = 0   ▼ 0 ≦ x ≦ L のとき V(x) = 0 {-ℏ 2 /(2m)}(∂ 2 /∂x 2 )φ

2023/5/5(金) 量子力学 (2回目)   (Quantum mechanics)   今回は時間に依存しない シュレディンガー方程式の導出です       ■ 記号 y :変位(m) A :振幅(m) λ:波長(m)(m/回) f :波の振動数(Hz)(回/s) v :速度(m/s) [波の速度v = λf] k :角波数(rad/m) [k = 2π/λ] ω:各振動数(rad/s) [ω = 2πf] x :位置(m) t :時間(s) ν:物質波などの振動数(Hz) c :光速(m/s) x :位置ベクトル(m) m :質量(kg) E :エネルギー(J) p :運動量(kg･m/s) [p = mv] h :プランク定数(6.62607015×10 -34 J･s) ℏ :ディラック定数 [ℏ = h / (2π)] Ψ( x ,t):波動関数 V( x ,t):ポテンシャルエネルギー [またはV( x )] H:ハミルトニアン ∇:ナブラ [∇ = (∂/∂ x )]       ■ シュレディンガー方程式の変数分離 iℏ(∂/∂t)Ψ(x,t) = [{-ℏ 2 /(2m)}(∂ 2 /∂x 2 ) + V(x,t)]Ψ(x,t) EΨ(x,t) = HΨ(x,t)   Ψ(x,t) = φ(x)f(t)と置く E{φ(x)f(t)} = H{φ(x)f(t)} φ(x)Ef(t) = f(t)Hφ(x) … 定数項を出す   {1/f(t)}Ef(t) = {1/φ(x)}Hφ(x) = Eと置く 左辺はxに依存せず、右辺はtに依存しないので Eは一定となる   {1/φ(x)}H{φ(x)} = E = const.より Hφ(x) = Eφ(x) [{-ℏ 2 /(2m)}(∂ 2 /∂x 2 ) + V(x)]φ(x) = Eφ(x)   一方 {1/f(t)}Ef(t) = E iℏ(∂/∂t)f(t) = Ef(t) (∂/∂t)f(t) = (E/iℏ)f(t) (∂/∂t)f(t) = (-iE/ℏ)f(t)       ■ まとめ 時間を含むシュレディンガー方程式 EΨ( x ,t) = HΨ( x ,t) iℏ(∂/∂t)Ψ( x ,t) = [{-ℏ 2 /(2m)}(∂ 2 /∂ x 2 ) + V( x ,t)]Ψ( x

2023/5/1(月) 量子力学 (1回目)   (Quantum mechanics)   今回はシュレディンガー方程式の導出です       ■ 記号 y :変位(m) A :振幅(m) λ:波長(m)(m/回) f :波の振動数(Hz)(回/s) v :速度(m/s) [波の速度v = λf] k :角波数(rad/m) [k = 2π/λ] ω:各振動数(rad/s) [ω = 2πf] x :位置(m) t :時間(s) ν:物質波などの振動数(Hz) c :光速(m/s) x :位置ベクトル(m) m :質量(kg) E :エネルギー(J) p :運動量(kg･m/s) [p = mv] h :プランク定数(6.62607015×10 -34 J･s) ℏ :ディラック定数 [ℏ = h / (2π)] Ψ( x ,t):波動関数 V( x ,t):ポテンシャルエネルギー [またはV( x )] H:ハミルトニアン ∇:ナブラ [∇ = (∂/∂ x )]       ■ 正弦波 位置による変位 x = 0のときy = 0とする x = 2λのときx/λ=波2回分なので 位相は2π×2(=2πx/λ)となるので y = Asin(2πx/λ)   時間による変位(正弦波は右に移動するとする) t = 0のときy = 0とする t = 2s、f=3Hzのときft=波3×2回分なので 位相は2π×3×2(=2πft)となるが 正弦波が右方向に進行すると 初め波は負の方向に変位するので y = Asin(-2πft) となる   位置と時間による位相を合わせて y = Asin(2πx/λ - 2πft) y = Asin{2π(x/λ - ft)} k = 2π/λ、ω = 2πfより   y = Asin(kx - ωt)       ■ 正弦波の指数表記 y = Asin(kx - ωt)と y = Acos(kx - ωt)は位相が違うだけで 同じく波を表している y = A{cos(kx - ωt) + isin(kx - ωt)} の実部も同じく波を表している オイラーの公式 exp(iθ) = e iθ  = cosθ+isinθより y = Ae i(kx - ωt)  = Aexp{i(kx - ωt)} 波動関数 Ψ(x,t) = Aexp

2023/4/23(日) N88-BASICでエントロピー (2回目)   (Entropy)   式の説明など詳しくは https://ulprojectmail.blogspot.com/2023/04/entropy-2.html エントロピー (2回目) を参照して下さい     □ 水に関する値 (定圧:1気圧)   ΔvapH = 2.23  kJ/g … 比蒸発エンタルピー ΔfusH = 0.334 kJ/g … 比融解エンタルピー エンタルピー(Enthalpy):定圧時の熱量   Cp(g) = 1.86 J/(K･g) … 定圧比熱容量(気) Cp(l) = 4.20 J/(K･g) … 定圧比熱容量(液) Cp(s) = 2.10 J/(K･g) … 定圧比熱容量(固) 水のモル質量 = 18.01528… g/mol 1cal = 4.18605J     □ エントロピー変化量(ΔS)の計算   ΔG = ΔH - T･ΔS   ただし、水と氷を選択した場合は1℃温度を上げる 熱量を受け取った後の温度変化は微小とする (T:一定)    VL,NL,XL-BASICとblg～.zip(ent002.bas)は 以下のリンクからダウンロードできます https://ulprojectmail.blogspot.com Readme.txtを読んで遊んで下さい

2023/4/21(金) エントロピー (2回目)   (Entropy)   □ エントロピー 統計力学 S = k B ln W   W:取りうるミクロな状態の数(乱雑さ) k B :ボルツマン定数(気体定数R = k B ･ N A ) k B  = 1.380649×10 -23  J/K   ΔU = Q + W W:乱雑さに関与しない Q:乱雑さに関与する   準静的過程 : 平衡状態のまま無限の遅さで変化する過程 準静的過程は可逆変化で 不可逆変化は準静的過程でない   dS = dQ/T … (準静的過程)   dSの単位はJ/Kで 1K当たりのエネルギーで表される   両辺積分して ΔS ≧ ∫dQ/T … (=は準静的過程) ∫dQ/T = ∫ T T' C/TdT = C(lnT' -lnT) = ClnT'/T … 温度変化T→T' (dQ = CdT … C:熱容量)     □ 熱力学第二法則 熱力学第二法則 (エントロピー増大則) ΔS ≧ 0 … (断熱過程)(dQ = 0) (=は準静的過程、W = 0でなくても良い)     □ 自発的変化(W = 0) 孤立系 (断熱過程)での自発的変化(W = 0)では ΔS > 0 … (孤立系、自発変化) 自発的変化は不可逆的変化で 準静的過程ではないため 等号が外れている     □ ギブスの自由エネルギーG 等温定圧過程 (恒温槽による準静的過程) ΔG = ΔH - T･ΔS 等温定圧過程の自発的変化の条件 ΔG < 0 -ΔG:取り出せるエネルギーの最大値 定圧条件 →膨張後なので 仕事 (膨張)は取出せない   等温定圧過程の全エントロピー変化 ΔS 全  = ΔS 系  + ΔS 外  > 0 (自発的変化のΔS増大則)   ΔU 系  = Q + W ΔS 外  = -∫d'Q / T 外  = -Q/T 外   = -(ΔU 系  - W)/T 外   ΔS 全  = ΔS 系  - (ΔU 系  - W)/T 外  > 0   W = -P 外 ΔV ΔS 全  = ΔS 系  - (ΔU 系  + P 外 ΔV)/T 外  > 0   T 外 ΔS 系  - (ΔU + P 外 ΔV) > 0

2023/4/18(火) N88-BASICでエントロピー (1回目)   (Entropy)   1回目はエンタルピー(Enthalpy)です   式の説明など詳しくは https://ulprojectmail.blogspot.com/2023/04/entropy-1.html エントロピー (1回目) を参照して下さい     □ 水に関する値 (定圧:1気圧)   ΔvapH = 2.23  kJ/g … 比蒸発エンタルピー ΔfusH = 0.334 kJ/g … 比融解エンタルピー エンタルピー(Enthalpy):定圧時の熱量   Cp(g) = 1.86 J/(K･g) … 定圧比熱容量(気) Cp(l) = 4.20 J/(K･g) … 定圧比熱容量(液) Cp(s) = 2.10 J/(K･g) … 定圧比熱容量(固)     □ エンタルピー変化量(ΔH)の計算 質量、 氷, 氷→水, 水, 水→水蒸気, 水蒸気の選択 温度変化 を入力し ΔHを表示する   変化に伴う熱量Q(J)の内 定圧変化(外圧一定)で出入りする熱量を エンタルピー変化量(ΔH)といい つまりは熱量Q(J)の事です     VL,NL,XL-BASICとblg～.zip(entr001.bas)は 以下のリンクからダウンロードできます https://ulprojectmail.blogspot.com Readme.txtを読んで遊んで下さい