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2023/9/20(水) N88-BASICで最速降下曲線 (2回目)   (Brachistochrone curve)   最短経路(直線)と比較   ■ 解 https://ulprojectmail.blogspot.com/2023/09/brachistochrone-1.html 最速降下曲線 (1回目) https://ulprojectmail.blogspot.com/2023/09/brachistochrone-2.html 最速降下曲線 (2回目) より   ▼ 前提 重力加速度gのもとで(下向きを正とする) 点A(0, 0)から点B(w, h)に降下するとき 質点P(x, y)の最速降下線を求める   ▼ 軌道 0 ≦ θ ≦ 2π x = A(θ - sinθ) y = A(1  - cosθ) θ = t√(g/A) t = θ√(A/g)   ▼ h = 0の時のθ,A θ = 2π A = w/2π   ▼ h > 0の時のθ,A (θ - sinθ) / (1  - cosθ) - h/w = 0   ニュートン法 f(x) = 0の解を求める   f(x) = (1 - cosx) / (x - sinx) - h/w f'(x) = (xsinx + 2cosx - 2)/(x-sinx) 2     x  n  ≠ 0, 2π Δx = f(x  n )/f'(x  n ) x n+1  = x  n  – Δx x = x  n  (if Δx < ε)   θ = xを次の式に代入 A = h/(1  - cosθ)   ▼ 直線軌道 移動率をαとして α = (1/2)gt 2 h/(w 2  + h 2 ) 移動距離 (x, y) = (αw, αh) 時間 t = √{2α(w 2  + h 2 )/(gh)}   ■ 解説 (w, h)を入力して 1sec毎にgridを描画 軌道を描画   直線軌道の時間の点 (紫と赤が対応、それ以外は青) と 最速が終了した時間の点(黄色) を追加     VL,NLと blg～.zip ( brac 00 2 .bas)は 以下のリンクからダウンロードできます https://ulprojectmail.blogspot.com Readme.t

2023/9/18(月) 最速降下曲線 (2回目)   (Brachistochrone curve)   今回は最短経路(直線)の運動を求めて 最速降下曲線と比較する   ■ 問題 重力加速度gのもとで(下向きを正とする) 点A(0, 0)から点B(w, h)に降下するとき 質点P(x, y)の最速降下線を求めよ       ■ 前回 ▼ 軌道 0 ≦ θ ≦ 2π x = A(θ - sinθ) y = A(1  - cosθ) θ = t√(g/A) t = θ√(A/g)   θ = 2π, A = w/2π  (if h = 0)   f(θ) = (θ - sinθ) / (1  - cosθ) - h/w f(θ) = 0の解, A = h/(1  - cosθ)  (if h > 0)     ■ 解法 ▼ 移動距離 傾斜面の長さSは S = √(w 2  + h 2 )   傾斜面の俯角θは tanθ = h/w sinθ = h/S = h/√(w 2  + h 2 ) cosθ = w/S = w/√(w 2  + h 2 )   斜面の移動距離sは s = (1/2)(gsinθ)t 2   = (1/2)gt 2 h/√(w 2  + h 2 ) 移動距離x,yは x = scosθ = sw/√(w 2  + h 2 ) = (1/2)gt 2 wh/(w 2  + h 2 ) y = ssinθ = sh/√(w 2  + h 2 ) = (1/2)gt 2 h 2 /(w 2  + h 2 )   移動率をαとして α = (1/2)gt 2 h/(w 2  + h 2 ) (x, y) = (αw, αh)   時間 t = √{2α(w 2  + h 2 )/(gh)}     ▼ 最速時との割合 最速降下曲線時の時間 t = θ√(A/g) を 直線距離の移動率 α = (1/2)gt 2 h/(w 2  + h 2 ) に代入 最速降下曲線で終了時の 直線距離移動割合をβとすると β = (1/2)g(θ 2 A/g)h/(w 2  + h 2 ) = (1/2)θ 2 Ah/(w 2  + h 2 )   ■ 結果 ▼ 直線軌道 移動率をαとして α = (1/2)gt 2 h/(w 2  + h 2 ) 移動距離 (

2023/9/14(木) N88-BASICで最速降下曲線 (1回目)   (Brachistochrone curve)     ■ 解 https://ulprojectmail.blogspot.com/2023/09/brachistochrone-1.html 最速降下曲線 (1回目) より   ▼ 前提 重力加速度gのもとで(下向きを正とする) 点A(0, 0)から点B(w, h)に降下するとき 質点P(x, y)の最速降下線を求める   ▼ 軌道 0 ≦ θ ≦ 2π x = A(θ - sinθ) y = A(1  - cosθ) θ = t√(g/A)   ▼ h = 0の時のθ,A θ = 2π A = w/2π   ▼ h > 0の時のθ,A (θ - sinθ) / (1  - cosθ) - h/w = 0   ニュートン法 f(x) = 0の解を求める   f(x) = (1 - cosx) / (x - sinx) - h/w f'(x) = (xsinx + 2cosx - 2)/(x-sinx) 2     x  n  ≠ 0, 2π Δx = f(x  n )/f'(x  n ) x n+1  = x  n  – Δx x = x  n  (if Δx < ε)   θ = xを次の式に代入 A = h/(1  - cosθ)     ■ 解説 (w, h)を入力して 1sec毎にgridを描画 軌道を描画     VL,NLと blg～.zip ( brac 00 1 .bas)は 以下のリンクからダウンロードできます https://ulprojectmail.blogspot.com Readme.txtを読んで遊んで下さい  

2023/8/10(日) 電磁気学 (5回目)   (Electro magnetics) ローレンツ条件 (Lorenz condition)     ■ 前提 ▼ 定義 ナブラ∇ = (∂/∂x,∂/∂y,∂/∂z) grad f = ∇f , div E  = ∇･ E  , rot E  = ∇× E   ラプラシアン∇･∇ = ∇ 2  = Δ ダランべルシアン □ = ∂ μ ∂ μ  = -(1/c 2 )(∂ 2 /∂t 2 ) + Δ   E     :電場(N/C) B     :磁束密度(T) = (Wb/m 2 ) = (Vs/m 2 ) = (N/(A･m)) ρ   :電荷密度[総量Q:電荷(C)] ε 0 :真空中の誘電率(F/m)[ε:誘電率] μ 0 :真空中の透磁率(N/A 2 )[μ:透磁率] j     :電流密度[総量I:電流(A)] φ   :スカラーポテンシャル(V) A    :ベクトルポテンシャル c   :真空中の光速度(m/s)[c = 1/√(ε 0 μ 0 )導出略]   ▼ 相対論的マクスウェルの方程式 E  = -gradφ - ∂ A /∂t B  = rot A     A μ  = (A 0 , A 1 , A 2 , A 3 ) = (φ/c, A ) j μ  = (j 0 , j 1 , j 2 , j 3 ) = (cρ, j ) □A μ  - ∂ μ (∂ ν A ν ) = -μ 0 j μ     今までの式変形の逆算より {Δ - (1/c 2 )(∂ 2 /∂t 2 )} A   - grad{div A  + (1/c 2 )(∂φ/∂t)} = -μ 0 j   … ① Δφ + div(∂ A /∂t) =  -μ 0 j 0   … ②     ■ 導出 ▼ ゲージ変換 rot gradχ = ∇×(∇χ) = 0   (同じ方向のベクトルの外積の大きさは0)   B  = rot A  は A'  = A  + gradχ に変えても成り立つ   E  = -gradφ - ∂ A /∂t は φ' = φ - ∂χ/∂t A'  = A  + gradχ に変えると -gradφ' - ∂ A /∂t = -grad(φ - ∂χ/

2023/9/4(月) 電磁気学 (3回目)   (Electro magnetics)   マクスウェル(Maxwell)の方程式を ポテンシャルで表す   ■ 前提 ▼ 定義 ナブラ∇ = (∂/∂x,∂/∂y,∂/∂z) ラプラシアン∇･∇ = ∇ 2  = Δ grad f = ∇f , div E  = ∇･ E  , rot E  = ∇× E     ρ   :電荷密度[総量Q:電荷(C)] ε 0 :真空中の誘電率(F/m)[ε:誘電率] μ 0 :真空中の透磁率(N/A 2 )[μ:透磁率] E     :電場(N/C) D     :電束密度(C/m 2 ) B     :磁束密度(T) = (Wb/m 2 ) = (Vs/m 2 ) = (N/(A･m)) H     :磁場(A/m) = (N/Wb) j     :電流密度[総量I:電流(A)] φ   :スカラーポテンシャル A    :ベクトルポテンシャル   ▼ マクスウェルの方程式 rot E  + ∂ B /∂t = 0             … ファラデーの誘導法則 rot B - ε 0 μ 0 ∂ E /∂t = μ 0 j   … (アンペール･マクスウェルの法則) div E  = ρ/ε 0                  … (ガウスの法則) div B  = 0                       … (湧出しなし)     ■ 導出 ▼ ポテンシャルを定義して式を減らす スカラーポテンシャルφと ベクトルポテンシャル A  を E  = -gradφ B  = rot A   と定義する   (∇× A )は∇と垂直なベクトルになる為 ∇･(∇× A ) = div(rot A ) = 0 より B  = rot A   を div B  = 0  … (湧出しなし) に代入して div B  = div(rot A ) = ∇･(∇× A ) = 0 となり div B  = 0は満たされる   さらに B  = rot A   を rot E  + ∂ B /∂t = 0    … ファラデーの誘導法則 に代入して rot E  + ∂(rot A )/∂t = 0 rot( E  + ∂ A /∂t) = 0 ここで E  = -gradφ -

2023/9/3(日) 電磁気学 (2回目)   (Electro magnetics)   電磁気学の基本4法則の導出   ■ 前提 ▼ 定義 ナブラ∇ = (∂/∂x,∂/∂y,∂/∂z) ラプラシアン∇･∇ = ∇ 2  = Δ grad f = ∇f , div E  = ∇･ E  , rot E  = ∇× E     ρ   :電荷密度[総量Q:電荷(C)] ε 0 :真空中の誘電率(F/m)[ε:誘電率] φ   :静電ポテンシャル(V) = (J/C) E     :電場(N/C) D     :電束密度(C/m 2 ) r   :原点からの距離(m)(r = | r |) B     :磁束密度(T) = (Wb/m 2 ) = (Vs/m 2 ) = (N/(A･m)) Φ   :磁束(Wb) H     :磁場(A/m) = (N/Wb) j     :電流密度[総量I:電流(A)] μ 0 :真空中の透磁率(N/A 2 )[μ:透磁率]   d S  = n ･dS … ( n :面Sの法線ベクトル) Sは体積Vの表面積とする s = ∂SはSの周長とする   ▼ 法則 div E  = ρ/ε 0  … (ガウスの法則) div D  = ρ       … (ガウスの法則) rot E  = 0         … (渦なしの法則) div B  = 0        … (湧出しなし) H = I/(2πr)   … (アンペールの法則) rot H = j         … (アンペールの法則) rot B = μ 0 j    … (アンペールの法則) F  = q v × B        … (ローレンツ力)     ■ 導出 ▼ レンツの法則(磁力線の数の変化で電流が生じる) φ:起電力(V) Φ:磁束(Wb)   q E  = F  = q v × B  より E  = v × B   この式を 電場中の1巻きの長さsのコイルの 微小長さをd s として積分すると ∫ s   E ･d s   = ∫ s  ( v × B )･d s   またφは静電ポテンシャルなので電場を積分して φ = ∫ s   E ･d s   より φ = ∫ s  ( v × B )･d s   また磁束密度 B が面積Sを貫く磁束は Φ

2023/9/1(金) 電磁気学 (1回目)   (Electro magnetics)   静電場静磁場の法則の導出   ■ 前提 ▼ 定義 ナブラ∇ = (∂/∂x,∂/∂y,∂/∂z) ラプラシアン∇･∇ = ∇ 2  = Δ grad f = ∇f , div E  = ∇･ E  , rot E  = ∇× E     ρ   :電荷密度[総量Q:電荷(C)] ε 0 :真空中の誘電率(F/m)[ε:誘電率] φ   :静電ポテンシャル(V) = (J/C) E     :電場(N/C) D     :電束密度(C/m 2 ) r   :原点からの距離(m)(r = | r |) B     :磁束密度(T) = (Wb/m 2 ) = (Vs/m 2 ) = (N/(A･m)) Φ   :磁束(Wb) H     :磁場(A/m) = (N/Wb) j     :電流密度[総量I:電流(A)] μ 0 :真空中の透磁率(N/A 2 )[μ:透磁率]   (F) = (C/V) = (s 2 /J) (C) = (A･s) (A) = (C/s) (V) = (W/A) = (JA/s) = (JC/s 2 ) (Wb) = (Nm/A) = (Nms/C) = (Js/C)   d S  = n ･dS … ( n :面Sの法線ベクトル) Sは体積Vの表面積とする s = ∂SはSの周長とする   ■ 導出 ▼ 静電場の法則 https://ulprojectmail.blogspot.com/2023/07/poisson-1.html ポアソン方程式 (1回目) より     div E  = ρ/ε 0  … (ガウスの法則) rot E  = 0         … (渦なしの法則)   ▼ 電束密度 ∫ D ･d S  = Q より div D  = ρ   ε 0 E  = D  - P   … ( P :誘電分極) D  ≒ ε E   (if P  ≒ λ E )  … (ε≒ε 0 +λ:誘電率) P は物質内部で電場が弱くなる補正   ▼ アンペールの法則 I:電流(A) r:電流からの距離(m) H = I/(2πr)   2πrH = I ∫ S   j ･d S  = I ∫ ∂S   H ･d s  = 2πrH ( H ･d