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2023/11/14(火)   掛け算の順序問題     2人に配ります。1人7本ずつ配ります。全部で何本必要? 2 × 7 = 14本　こちらは〇 7 × 2 = 14本　こちらは×などとするのは間違いです   どちらも 2人 × 7本/人 = 7本/人 × 2人 = 14本 で正解です   1人7本ずつ配ります。2人に配ります。全部で何本必要? 7 × 2 = 14本　こちらは〇 2 × 7 = 14本　こちらは×などとするのも間違いです     ここで掛け算を足し算で表してみることにします   7本/人×1人 = 7(本/人)人 … (1人当り7本ずつ配った時の1人分の本数) とすると 2人 × 7本/人 = 7本/人 × 2人 = 7(本/人)人 + 7(本/人)人 　… (1人当たり7本ずつ配った時の1人分の本数)が2人分 　　つまり (1人当たり7本ずつ配った時の2人分の本数) = 7本 + 7本 = 14本   2人×1本/人 = 2人(本/人) … (1人当り1本ずつ配った時の2人分の本数) とすると 2人 × 7本/人 = 7本/人 × 2人 = 2人(本/人) + 2人(本/人) + 2人(本/人) + 2人(本/人) + 2人(本/人) + 2人(本/人) + 2人(本/人) 　… (1人当たり1本ずつ配った時の2人分の本数)が7本分 　　つまり (1人当たり7本ずつ配った時の2人分の本数) = 2本 + 2本 + 2本 + 2本 + 2本 + 2本 + 2本 = 14本 (これの意味を理解するのは難しいかもしれません。)   単位を省くと 2 × 7  =  7 × 2 =  7 + 7 =  2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 14 2 × 7は7が2個と、2が7個の両方の意味があり 掛け算の順序を入れ替えても同じ意味になります   χが2個あることを 2χ と書きますが (χ × 2) の順でなければならないと小学校で 習っていれば (2 × χ) と書くのは間違いで χ2 と書くべきで 2χ と書く事が理解できないなんて事が 起こります   以前は 割り算を習う前に単位(本/人)を理解するのは困難なので 一旦順序を決めて教えて割り算を習得した後 2人 × 7本/人 = 7本/人 × 2人 = 14本 を理解すれば良い

2023/11/12(日) N88-BASICで衝突 (2回目)   (collision) 球と壁   ■ 前提 https://ulprojectmail.blogspot.com/2023/11/collision-2.html 衝突 (2回目) より   ▼ 定義 大文字(太字)はベクトル 右下添字は球番号   P :球の位置ベクトル m:球の質量 V :球の速度 A :球の加速度 t:経過時間 r:球の半径 E: 球の移動方向の単位ベクトル R: 球の軌跡 s:距離 ':衝突後     ▼ 衝突 ΔV  = AΔ t ΔR  = VΔ t + (1/2) AΔ t 2   v = | ΔR |  … 速さ   P  = P 1  - W - r 1 N   … 壁+半径を原点にした球1の位置   s = -( P ･ N ) / ( E ･ N )  … 移動方向の壁までの距離 (ただし E ･ N  = 0 の時は壁に平行なため衝突しない)   s ＜ 0の時、壁は後(|s| は距離) s ≧ 0の時、壁は前(s は距離)   ▼ 衝突(|Δt| << 1のとき) d V  = A dt d P  = V dt   ■ 動作 N88-BASIC(86)(PC-98)用(coll002.bas )は、マウス N88-BASIC(88)(PC-88)用(coll002x.bas)は、キーボード で速度を入力し球同士と壁の衝突を表示   coll002?.basは 1050 PC98 = 1 '--- 1:PC-98 , 0:PC-88 が1 or 0の違いだけです   VL,NL ,XL -BASICと blg～.zip ( coll 00 2? .bas)は 以下のリンクからダウンロードできます https://ulprojectmail.blogspot.com Readme.txtを読んで遊んで下さい  

2023/11/6(月) 衝突 (2回目)   (collision)   球と 壁 (平面)の衝突   ■ 導出 ▼ 定義 大文字(太字)はベクトル 右下添字は球番号(今回1のみ)   P :球の位置ベクトル V :球の速度 A :球の加速度 t:経過時間 r:球の半径 E: 球の移動方向の単位ベクトル R: 球の軌跡 s:距離 ':衝突後 N :壁の法線(壁から球方向を正とする) W :壁の位置(壁平面上の任意の点)   ▼ 衝突 Δ V  = A Δt Δ P  = V Δt + (1/2) A Δt 2   v = |Δ P |  … 速さ     図1. -s(E･N) = P･N   P  = P 1  - W - r 1 N   … 壁+半径を原点にした球1の位置   P ･ N     … 壁から球中心までの垂直距離(負:壁の中) s E      … 移動方向の壁までのベクトル -s E ･ N   … 壁から球中心までの垂直距離 P ･ N  = -s E ･ N   s = -( P ･ N ) / ( E ･ N )  … 移動方向の壁までの距離( E ･ N  ≠ 0)   E ･ N  ≧ 0 の時、壁に平行または後ろ s ≧ 0の時、壁は前(s は距離) P ･ N  ＜ 0 の時、壁の中   ▼ 衝突(|Δt| << 1のとき) d V  = A dt d P  = V dt     ■ 結果 ▼ 定義 大文字(太字)はベクトル 右下添字は球番号   P :球の位置ベクトル m:球の質量 V :球の速度 A :球の加速度 t:経過時間 r:球の半径 E: 球の移動方向の単位ベクトル R: 球の軌跡 s:距離 ':衝突後 N :壁の法線(壁から球方向を正とする) W :壁の位置(壁平面上の任意の点)   ▼ 衝突 Δ V  = A Δt Δ P  = V Δt + (1/2) A Δt 2   v = |Δ P |  … 速さ   P  = P 1  - W - r 1 N   … 壁+半径を原点にした球1の位置   s = -( P ･ N ) / ( E ･ N )  … 移動方向の壁までの距離( E ･ N  ≠ 0)   E ･ N  ≧ 0 の時、壁に平行または後ろ s ≧ 0の時、壁は前(s は距

2023/11/3(金) N88-BASICで衝突 (1回目) (collision)   ■ 前提 https://ulprojectmail.blogspot.com/2023/11/collision-1.html 衝突 (1回目) より   ▼ 定義 大文字(太字)はベクトル 右下添字は球番号   P :球の位置ベクトル m:球の質量 V :球の速度 A :球の加速度 t:経過時間 r:球の半径 E: 球の移動方向の単位ベクトル R: 球の軌跡 s:距離(右下添字は手前と奥) ':衝突後   ▼ 衝突 ΔV  = AΔ t ΔR  = VΔ t + (1/2) AΔ t 2   v = | ΔR |  … 速さ   r = r 1  + r 2   … 半径rの球 P  = P 1  - P 2   … 球2が原点の時の球1の位置   | R | = r    … 球 R  = P  + E s  … 球1の軌跡   d = ( P ･ E ) 2  - P ･ P  + r 2   … 判別式 s = - P ･ E ±√(d)       … 2球間距離   s 1  = - P ･ E  - √(d)  … 手前 s 2  = - P ･ E  + √(d)  … 奥   (d ＜ 0)の時、衝突なし (d ≧ 0)の時 　(s 2  ＜ 0 または v ＜ s 1 )の時、衝突なし   　その他、衝突   ■ 動作 N88-BASIC(86)(PC-98)用(coll001.bas )は、マウス N88-BASIC(88)(PC-88)用(coll001x.bas)は、キーボード で速度を入力し球同士の衝突を表示   coll001?.basは 1050 PC98 = 1 '--- 1:PC-98 , 0:PC-88 が1 or 0の違いだけです   VL,NL ,XL -BASICと blg～.zip ( coll 00 1? .bas)は 以下のリンクからダウンロードできます https://ulprojectmail.blogspot.com Readme.txtを読んで遊んで下さい  

2023/11/1(水) 衝突 (1回目)   (collision)   球同士の衝突   ■ 導出 ▼ 定義 大文字(太字)はベクトル 右下添字は球番号   P :球の位置ベクトル V :球の速度 A :球の加速度 t:経過時間 r:球の半径 E: 球の移動方向の単位ベクトル R: 球の軌跡 s:距離 ':衝突後   ▼ 衝突 図 1.加速度と位置の関係   Δ V  = A Δt Δ P  = V Δt + (1/2) A Δt 2   v = |Δ P |  … 速さ       図2. d = √[r 2  - {|P| 2  - (P･E) 2 }] s 1  = -P･E - d, s 2  = -P･E + d   r = r 1  + r 2   … 半径rの球 P  = P 1  - P 2   … 球2が原点の時の球1の位置   | R | = r    … 球 に R  = P  + s E   … 球1の軌跡 を代入 | P  + s E | = r ( P  + s E )( P  + s E ) = r 2   P ･ P  + 2s( P ･ E ) + s 2 ( E ･ E ) = r 2   s 2  +  2s( P ･ E ) + P ･ P  - r 2  = 0   d = ( P ･ E ) 2  - P ･ P  + r 2   … 判別式 s = - P ･ E ±√(d)       … 2球間距離   s 1  = - P ･ E  - √(d)  … 手前 s 2  = - P ･ E  + √(d)  … 奥   (d ＜ 0)の時、衝突なし (d ≧ 0)の時 　(s 2  ＜ 0 または v ＜ s 1 )の時、衝突なし   　その他、衝突     ▼ 衝突(|Δt| << 1のとき) d V  = A dt d P  = V dt   r = r 1  + r 2   … 半径rの球 P  = P 1  - P 2   … 球2が原点の時の球1の位置   P ･ P  = ≦ r 2   … (| P | ≦ r) の時、衝突     ■ 結果 ▼ 定義 大文字(太字)はベクトル 右下添字は球番号   P :球の位置ベクトル m:球の質量 V :球の速度 A :球の加速度 t:経過

2023/10/26(木) 三角関数 (4回目)   オイラーの公式(Euler's formula) e iθ  = cosθ + isinθ の 導出 (証明?)   y'(θ) = (d/dθ)y(θ) とする   y(θ) = cosθ + isinθ と置くと y'(θ) = -sinθ + icosθ = i{cosθ + isinθ} = iy(θ) より   y'(θ) = iy(θ)  … (この微分方程式を解く)   y(θ) = Ae i(θ + B)  + Ce -i(θ + D)   と置くと y'(θ) = iAe i(θ + B)  - iCe -i(θ + D)   なのでC = 0の時y'(θ) = iy(θ)を満たす y(θ) = Ae i(θ + B)   y'θ = iAe i(θ + B)  = iyθ   また y(0) = cos0 + isin0 = 1 = Ae i(0 + B)   これはA = 1, B = 0の時成り立つので y(θ) = Ae i(θ + B)  = e iθ   は解の1つである   よって y(θ) = cosθ + isinθ = e iθ   より   e iθ  = cosθ + isinθ が成り立つ  

2023/8/8(火) 曲率テンソル (5回目)   (Curvature tensor)   アインシュタイン･テンソルの導出   ■ 定義 ▼ ビアンキの恒等式 曲率テンソル (3回目)より   R k m, αβ  + R k α , β m  + R k β , m α  = 0 R n m, αβ  + R n α , β m  + R n β , m α  = 0 ∇ γ R km , αβ  + ∇ α R km , β γ  + ∇ β R km , γ α  = 0 ∇ γ R n m, αβ  + ∇ α R n m, β γ  + ∇ β R n m, γ α  = 0   ▼ 曲率テンソルの反対称性 R n m , αβ  = -R n m , βα   R n m , αβ  = -R m n , αβ     ■ 導出 ▼ アインシュタインテンソルを求める ∇ μ G μν  = 0 となる G μν   を求める   ∇ γ R km , αβ  + ∇ α R km , β γ  + ∇ β R km , γ α  = 0   g mβ を掛ける g mβ (∇ γ R km , αβ  + ∇ α R km , β γ  + ∇ β R km , γ α ) = ∇ γ g mβ R km , αβ  + ∇ α g mβ R km , β γ  + ∇ β g mβ R km , γ α   = ∇ γ R k α  - ∇ α g mβ R km , γ β  - ∇ β g mβ R mk , γ α   = ∇ γ R k α  - ∇ α R kγ  - ∇ β R β k , γ α  = 0   g kα を掛ける g kα (∇ γ R k α  - ∇ α R kγ  - ∇ β R β k , γ α ) = ∇ γ g kα R k α  - ∇ α g kα R kγ  - ∇ β g kα R β k , γ α   = ∇ γ R - ∇ α R α γ  - ∇ β R β γ   = ∇ γ R - ∇ α R α γ  - ∇ α R α γ   = ∇ γ R - 2∇ α R α γ   = ∇ α δ α γ R - 2∇ α R α γ   = ∇ α (δ α γ R - 2R α γ )

2023/8/7(月) 曲率テンソル (4回目)   (Curvature tensor)   共変微分について     ■ 検討 ▼ 1回目より R n m , αβ  = -R n m , βα     ▼ 定義 x',A':デカルト座標系と定ベクトル x ,A :一般座標系と定ベクトル (∂/∂x β )A' k  = 0   ▼ 共変ベクトルの共変微分 ∇ β A α  = (∂/∂x β )A α   = (∂/∂x β )(∂x' k /∂x α )A' k   = (∂ 2 x' k /∂x β ∂x α )A' k  + (∂x' k /∂x α ){(∂/∂x β )A' k } = (∂ 2 x' k /∂x β ∂x α )A' k   = (∂ 2 x' k /∂x β ∂x α )(∂x i /∂x' k )A i     ∇ β A α  = (∂/∂x β )A α -(∂ 2 x' k /∂x β ∂x α )(∂x i /∂x' k )A i   = 0 と∇ β を定義する ここで Γ i αβ  = (∂ 2 x' k /∂x β ∂x α )(∂x i /∂x' k )と置くと ∇ β A α  = (∂/∂x β )A α  - Γ i αβ A i  = 0     ▼ 反変ベクトルの共変微分 ∇ β A α  = (∂/∂x β )A α   = (∂/∂x β )(∂x α /∂x' k )A' k   = (∂ 2 x α /∂x β ∂x' k )A' k  + (∂x α /∂x' k ){(∂/∂x β )A' k } = (∂ 2 x α /∂x β ∂x' k )A' k   = (∂ 2 x α /∂x β ∂x' k )(∂x' k /∂x i )A i     (∂/∂x β ){(∂x α /∂x' k )(∂x' k /∂x i )} = {(∂/∂x β )(∂x α /∂x' k )}(∂x' k /∂x i ) + (∂x α /∂x' k

2023/8/5(土) 曲率テンソル (3回目)   (Curvature tensor)   ビアンキの恒等式の導出   ■ 定義 ▼ 曲率テンソル [∇ α ,∇ β ] e m  = R n m, αβ e n  と定義する g kn R n m, αβ  = R k m, αβ  = -g kn R n m, βα  = -R k m, βα   R n m, αβ   = (∂/∂x α )Γ n βm  - (∂/∂x β )Γ n αm   + Γ n α k Γ k βm   - Γ n β k Γ k αm     ■ 導出 ▼ ビアンキの恒等式   Γ k ij  = g ka Γ aij   = (1/2)g ka {(∂g ja /∂X i )+(∂g ai /∂X j )-(∂g ij /∂X a )} 導出は https://ulprojectmail.blogspot.com/2023/07/christoffel-3.html クリストッフェル記号 (3回目)   x':局所慣性系 以後、局所慣性系 クリストッフェル記号 = 0、g kn  = g ( _ ) kn  とする   R k m, αβ  = g kn R n m, αβ   = g kn {(∂/∂x' α )Γ n βm  - (∂/∂x' β )Γ n αm   + Γ n α i Γ i βm   - Γ n β i Γ i αm ) = g kn {(∂/∂x' α )Γ n βm  - (∂/∂x' β )Γ n αm  } = (1/2)g kn   [(∂/∂x' α )g ni {(∂g mi /∂x' β )+(∂g iβ /∂x' m )-(∂g βm /∂x' i )} -(∂/∂x' β )g ni {(∂g mi /∂x' α )+(∂g iα /∂x' m )-(∂g αm /∂x' i )}] = (1/2)g kn g ni   [(∂/∂x' α ){(∂g iβ /∂x' m )-(∂g βm /∂x' i )} -(∂/∂x' β ){(∂g iα /∂x' m )-(∂g αm /∂x&#